Que se lo digan a Grassmann y a Schläfli

Por una entrada que quería hacer, ayer he estado buscando información sobre Ludwig Schläfli, un geómetra de quien yo creía que era astrónomo, o sea que fíjense si estaba despistado.

Schläfli concluyó en 1852 una memoria en la que iniciaba el estudio de lo que podríamos llamar geometría multidimensional, esto es, problemas geométricos no en la recta (una dimensión), el plano (dos dimensiones) o en el espacio (tres dimensiones) sino en un número mayor y arbitrario de dimensiones.

Claro, uno puede pensar: si la geometría trata originariamente de "medir la tierra", ¿qué tipo de deriva intelectual puede llevar a uno a querer hacer geometría de cosas que no existen en el mundo real? Este es, probablemente, una de las causas del poco interés con que el trabajo de Schläfli fue recibido.

El siglo XIX contempló una profunda transformación de la geometría: pensemos que en 1796 Laplace estudió el origen del sistema solar y su estabilidad como sistema, problemas que encajan fácilmente en la idea de "medir el mundo"; mientras que, en 1872, Klein planteaba su programa de Erlangen, según el cual la geometría es el estudio de los invariantes de un grupo de transformaciones.

En el libro de Klein Lecciones sobre el desarrollo de la matemática en el siglo XIX podemos intuir cómo los geómetras del XIX siguieron muchas veces este camino:
-De jóvenes, desarrollaron nuevas herramientas para resolver los "grandes problemas" con los que sus maestros no habían podido.
-Cuando los maestros se las prometían felices imaginando el progreso futuro, abandonaron esos problemas para ponerse a estudiar (en lugar de aplicar) esas nuevas herramientas.
-Ese estudio les llevó a nuevos problemas de gran dificultad pero que probablemente no tenían ningún valor ni importancia para sus maestros (al estilo "¡No sé por qué los jóvenes pierden el tiempo con esas moderneces!")
-De mayores, la siguiente generación les pagó con la misma moneda, y entonces fueron ellos quienes entonaron el "¡Esos jóvenes salvajes van a acabar con todo lo que hemos construido!".

En este ambiente de transformación, está claro que hay muchos a quienes posteriormente la historia reivindica como pioneros pero a los que sus contemporáneos trataron con la máxima indiferencia (un caso extremo, fuera de la geometría, es Frege, hoy llamado "el mayor lógico desde Aristóteles" por la Wikipedia pero con una amarguísima vida académica en la que muchos de sus propios compañeros de trabajo le consideraron poco más que un inútil). Peor aún es el caso de los que fueron los segundos en descubrir algo (en una época en la que la comunicación internacional entre los científicos era muy pobre), ya que ni la historia se acuerda de ellos.

Pues bien, volviendo a Schläfli, parece que su aportación más duradera en su teoría multidimensional (lo que hoy llamaríamos el espacio Rⁿ) ha sido el estudio de los politopos. Un politopo es una versión general de lo que en 2 dimensiones sería un polígono y en 3 un poliedro. Los griegos ya conocían la existencia de polígonos regulares de cualquier número de lados, y de cinco poliedros regulares: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Euler (1750) encontró una famosa fórmula, concluyendo que no existe ningún otro poliedro regular. Schläfli, a partir de una versión multidimensional de la fórmula de Euler, determinó todos los politopos regulares en cualquier número de dimensiones, que son seis en el espacio de 4 dimensiones (entre ellos el simpático icositetrácoro), y tres en cualquier número de dimensiones a partir de 5.

Aunque los politopos parecen muy esotéricos (el que a uno se le ocurra la idea de un icosaedro ya parece suficientemente raro), en realidad hay muchísimas situaciones de hoy en día en las que los politopos son una herramienta matemática fundamental. Por ejemplo, si tenemos una fábrica que hace chicles de cuatro sabores y tenemos que decidir cuántos hacemos de cada tipo, el famoso método símplex que aprenden todos los economistas consiste en recorrer los vértices de un politopo buscando la mejor solución. El número de dimensiones es el número de opciones distintas a las que podemos dedicar nuestro dinero y la solución óptima es siempre un vértice del politopo. Hay multitud de otros ejemplos, de la teoría de juegos a la secuenciación de genomas. Así que la geometría en más de 3 dimensiones sí que sirve para algo, aunque no sea concretamente para medir el mundo.

Es muy curioso que otro matemático, Hermann Grassmann, también a mediados del siglo XIX escribió una memoria inventando el espacio de múltiples dimensiones. La diferencia de perspectiva con Schläfli se aprecia al ver que los politopos están enraizados en la geometría de la antigüedad, mientras que Grassmann niega que la geometría sea una rama de las matemáticas por ocuparse del espacio, que es cosa del mundo real. Según él, lo que hace falta es una teoría matemática más abstracta en la que el espacio del mundo real sea sólo una aplicación concreta (no es sorprendente entonces la influencia de Grassmann en Klein).

Grassmann desarrolló, dicho en términos modernos, la teoría de Rⁿ como espacio vectorial de dimensión finita. Podemos decir que todos los elementos básicos del álgebra lineal tal como aparece hoy en los libros de texto de carreras como Ingeniería, Física o Economía estaban ya en Grassmann hace 160 años: la idea de los vectores como elementos abstractos de un espacio, las combinaciones lineales, las bases, las transformaciones de cambio de base, los subespacios, el papel central de los determinantes de matrices, etc. etc. Si alguien ha sufrido con esa materia, ya sabe de quién es la culpa.

Sin embargo, por chocante que parezca, Grassmann nunca fue capaz de llegar a dar clase en la universidad. Su trabajo fue criticado negativamente por contemporáneos influyentes como Möbius o Kummer, que quizás lo consideraban algo así como, en el mejor caso, un mediocre con buenas ideas.

Unos veinte años después, Grassmann preparó una nueva versión de su obra, que tuvo el mismo éxito (o sea, ninguno). Entonces abandonó las matemáticas y la física para dedicarse a cuestiones como si las lenguas germánicas tienen componentes más antiguos que el sánscrito. Que no pasa nada, y en absoluto consideramos a la lingüística una disciplina inferior, pero seguro que su influencia histórica en ella fue mucho más pequeña.

Pero, por mala que parezca la situación de Grassmann, peor fue lo de Schläfli. Aun fuera del circuito académico alemán, Grassmann terminó influyendo en Peano o Klein, entre otros matemáticos clave de fines del XIX. Schläfli contó con la ayuda de Steiner para acceder a la docencia universitaria aunque fue uno de los muchos profesores "hambrientos" de su época. Terminó su monografía en 1852, cuando la de Grassmann data de 1844. Peor aún, fue rechazada por varias academias científicas europeas y sólo vio la luz póstumamente en 1901; para entonces, todo el pescado llevaba décadas vendido.

Klein, en sus Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado (1924-28), lo cuenta así: "Debo resaltar que Grassmann, sin embargo, de ningún modo se limitó a cosas que fuesen inmediatamente aplicables, sino que, con un instinto creativo sin restricciones, fue mucho más allá. Su principal contribución fue introducir el concepto general de n coordenadas de un punto x₁, x₂, ..., x_n, en lugar de las tres x, y, z, y así se convirtió en el auténtico creador de la geometría del espacio, R_n, de n dimensiones." En ese volumen, Klein nombra a Grassmann 21 veces, incluyendo el título de dos capítulos; huelga decir que Schläfli no aparece por ninguna parte.

Aparte de la identificación de los politopos regulares, Schläfli es también recordado por una de las expresiones integrales de las funciones de Bessel. Por tanto, habiendo al menos dos cosas que llevan su nombre más de un siglo después de su muerte, no es exactamente un matemático anónimo aunque tampoco es un matemático conocido (yo nunca había oído hablar de él hasta que visité la Universidad de Berna, donde fue profesor).

Al final, ¿compensa el juicio de la posteridad una vida de privaciones materiales o de frustración profesional? Como decía en el título, que se lo digan a Grassmann y a Schläfli.