martes, 22 de octubre de 2013

Disquisiciones mías sin interés para nadie

Dejé Embassytown en la tercera frase. Ahora he dejado Las luminosas en la tercera frase.

Aquí es pleno verano, hace demasiado calor para lo que lleva
puesto, pero ha aprendido a utilizar un uniforme para lo que va
a hacer, vaqueros, en concreto.

Lo siento; pero no me queda suficiente tiempo de vida para leer 400 páginas traducidas y corregidas por gente que no sabe puntuar una frase ni lo que es una conjunción adversativa. Y estoy seguro de que el personaje, diga lo que diga la traductora, no va a ponerse a hacer vaqueros.

lunes, 21 de octubre de 2013

Problema curioso (excusa para procrastinar)

Sea f una función real de variable real, tal que
f(x+y) <= yf(x) + f(f(x))
para cualesquiera x,y. Se trata de demostrar que f(x) = 0 para cualquier x <= 0.

Me lo han traído al despacho esta tarde. Es de alguna competición internacional. Yo he tardado unas dos horas, así que algún otro masoquista que vea esto se puede entretener un rato.

(Al resolverlo, me he hecho acreedor a una bolsa de Sugus. ¡Bien!)

lunes, 14 de octubre de 2013

Los números primos

A menudo, en los libros de divulgación se trata de justificar la importancia de los números primos diciendo algo así como que son los ladrillos de los que están compuestos todos los otros números (que se llaman, de hecho, números compuestos). A mí esta justificación nunca me ha convencido, pues no todo lo que sea un ladrillo de otra cosa tiene por ello un interés especial. Por ejemplo, un estudio exhaustivo de cada tecla posiblemente no es la mejor manera de entender un teclado.

Pero, al mismo tiempo, es muy difícil comunicar qué tienen los números primos para que haya habido durante milenios gente dedicada a estudiarlos. En esta entrada vamos a hacer un intento modesto.

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Hay muchas familias de números, claro, aparte de los primos. Quitando los pares y los impares, probablemente la más famosa es la de los cuadrados, formados al multiplicar un número por sí mismo (claro). Un número cuadrado, lógicamente, no puede ser primo (excepto el 1).

Otra familia es la de los números factoriales. Los factoriales son 1, 1·2=2, 1·2·3=6, 1·2·3·4=24, 1·2·3·4·5=120, etc. Un número primo como el 7 solo puede factorizarse como 1·7, mientras que el factorial correspondiente es 1·2·3·4·5·6·7. Como se ve, son un poco lo opuesto de los primos; si imaginásemos los primos como números avaros, los factoriales serían el colmo del derroche pues van acaparando todos los factores posibles. También está claro que un número factorial no puede ser primo, de nuevo con la excepción del 1.

Imaginemos que somos personas ociosas a las que les gustan los números. Posiblemente, ahora nos diríamos: "¡Hum! Quitando el 1, un factorial no puede ser primo, y un cuadrado tampoco puede ser primo, pero... ¿puede un factorial ser un cuadrado, o no?".

Y la respuesta es: No, porque hay infinitos números primos.

¿Cómo puede ser esto? ¿Qué tiene que ver si hay muchos o pocos primos con que haya o no números comunes en familias de números que no son primos?

Supongamos que tenemos un número (distinto del 1) que es a la vez factorial y cuadrado. Vamos a tantear a ver si averiguamos qué número podría ser, y eso nos llevará a que ese número no puede existir.

Por ser factorial, sabemos que como poco es 2=1·2. Pero 2 no es un cuadrado; para poder ponerlo como producto de un número por sí mismo, necesitaríamos como poco otro 2. Al ser un factorial, como poco tendríamos que llegar al 4: 1·2·3·4.

Esto no ha resuelto el problema, porque 24 sigue sin ser cuadrado. Peor aún, entre el 2 y el 4 nos ha aparecido otro número primo, el 3, que también está desemparejado. Para poder formar un cuadrado, tendremos que añadir otro factor que sea múltiplo de 3. Como sabemos que el número es un factorial, como poco tendremos que llegar al 6: 1·2·3·4·5·6.

Pero, entre el 3 y el 6, nos ha aparecido otro número primo: el 5. Ahora, para aspirar a formar un cuadrado tendremos que añadir más factores hasta llegar, como poco, al 10: 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10. De nuevo entre 5 y 10 nos aparece un primo, el 7. Así que tenemos que prolongar el factorial por lo menos hasta el siguiente múltiplo de 7, el 14. Pero entre 7 y 14 aparecen más primos: el 11 y el 13. Y así sucesivamente.

Ocurre que entre un número y su doble siempre hay algún número primo (esto fue demostrado por Chebychev, conocido por los estudiantes de Estadística, en 1850). Como hay infinitos números primos, cada vez que prolongamos el factorial para emparejar a un primo, aparece otro desemparejado; así, nunca llegaremos a formar un factorial en el que no haya un primo sin pareja que impide que el número sea un cuadrado.

Así que sí, el que haya infinitos primos hace que otras cosas, relativas a familias de números que no son primos, sean imposibles. Esto es un ejemplo de cómo los números primos tienen mucha influencia sobre temas que aparentemente no son asunto suyo.

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Ahora, veamos un ejemplo en la dirección contraria.

Los números refactorizables son aquellos que cumplen que su número de divisores es justamente uno de sus divisores. Por abreviar, los llamaremos simplemente números rarunos.

Es decir: el 1 es raruno porque tiene 1 divisor. El 2 es raruno porque tiene 2 divisores. El 3 no es raruno porque tiene 2 divisores, entre los que no está el 2. El 8 sí es raruno porque tiene 4 divisores (1, 2, 4, y 8), entre los que está el 4. El 12 también es raruno porque tiene 6 divisores (1, 2, 3, 4, 6, y 12) y entre ellos está el propio 6.

Los únicos primos rarunos son el 1 y el 2. Como cualquier primo mayor que 1 tiene 2 divisores (él mismo y 1), sería raruno si el 2 fuese un divisor suyo. Pero, en ese caso, como sus divisores son el 1 y él mismo, tiene que ser el 2.

Es decir, es otro ejemplo de una familia de números que (casi) no contiene números primos. Si estuviéramos ociosos y nos gustasen los números, podríamos preguntarnos: "Los números rarunos, ¿son infinitos, o no?".

Y la respuesta es: Sí, porque hay infinitos números primos.

En este caso, el razonamiento es como sigue. Simplemente tenemos que usar cada número primo para construir un número raruno. El plan sería multiplicar el primo por otro número adecuado para conseguir que el número de divisores del total sea un divisor del segundo número (y, por tanto, del total).

Fijemos un número primo, como el 3. Si multiplicamos 8·3, tendrá los siguientes divisores: primero, los que ya eran divisores de 8 (1, 2, 4, y 8); y, segundo, los mismos multiplicados por 3 (1·3, 2·3, 4·3, y 8·3). Es decir, resultan 8 divisores. Como a su vez 8 es uno de los divisores de 8·3=24, tenemos que este es un número raruno.

En este argumento podemos sustituir el 3 por cualquier número primo, con tal que no sea ni el 1 ni el 2. Como hay infinitos números primos, este argumento nos proporciona infinitos números rarunos.

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Pero vamos a terminar la entrada rizando el rizo: ¿Hay infinitos cuadrados rarunos?

Y la respuesta es: Sí, porque hay infinitos números primos.

El plan es similar: buscar un número adecuado para que, al multiplicarlo por un primo y elevar al cuadrado, nos dé un número de divisores que ya sea divisor del cuadrado del primer número. Si conseguimos esto, como el valor del número primo no juega ningún papel, con los infinitos números primos podremos construir infinitos cuadrados rarunos.

En este caso, el 3 nos sirve. Si p es un número primo, el cuadrado (3·p)2 tiene exactamente 9 divisores. Pero ese número es 9p2, luego 9 es divisor suyo. Luego es un número raruno.

jueves, 3 de octubre de 2013

Visita a Oviedo

Querido diario:

Ay (y no me estoy refiriendo al faraón Ay de la decimoctava dinastía). Como sabes, desde que superé el trauma afectivo de que aquella enfermera morena me mandara a casa por llenar mal el bote de orina, vengo intentando proyectar una imagen de gran eficiencia y asertividad en mi relación con el sexo opuesto. Esto parece tener importancia por alguna razón.

Pero, a veces, a pesar de mis esfuerzos, la única banda sonora capaz de describir ese momento en que la realidad cruza inadvertidamente hacia lo paranormal es esta: dos gemelas rubias interpretando Iron Maiden con sus arpas mientras llevan unos vestidos cosidos por ellas mismas.



El viernes a mediodía había quedado con una chica que conocí por Internet. Amigo diario, ahora sé que, por si te retrasas, no debes nunca quedar en una plaza justo a la hora a la que van a tocar las campanas el Asturias patria querida. Resalta bastante el hecho de que es la hora y no estás ahí. Y yo me había encontrado con mi ex alumno Omar, que ha abandonado Biología y parecía contento por ello, y tampoco lo iba a dejar con la palabra en la boca después de aquella vez que estuvimos rajando del final de Perdidos antes de clase. Ay, qué final (y no me estoy refiriendo a casarte con tu nieta tras enviudar ella de su medio hermano y a la vez hijastro).

Cruzando la plaza, me dirigí a un banco donde esperaba sentada una mujer. Pero cada vez estaba menos seguro de que fuera esa. Iba vestida toda ella de negro y llevaba unas gafas muy negras, ¿no sería una viuda doliente? Más cerca vi que tenía un tatuaje de buen tamaño en la pantorrilla izquierda; de ser viuda, debía de serlo de un aficionado a los deportes extremos o rapero profesional.

Entonces ella se levantó y vino hacia mí y se acabó el debate.

-Se te reconoce muy bien -pronuncié, asertiva y eficientemente. La historia de Omar claramente no molaba como excusa; ¿debía decirle algo más asertivo que que venía de cruzarme con un ex alumno? ¿Algo eficiente, como que venía de despedir a unos trabajadores?

-¿Adónde vamos?

-No sé, por aquí solo he estado... ahí... una vez, en 2010, pero fue en un congreso.

Acabamos en una terraza al pie de la catedral. Nos trajeron nuestros cafés. No tardó en salir el tema.

-Me tienes que explicar cómo es eso de que no tienes móvil.

¡Qué bien había hecho en no decirle que me había retrasado enviando despidos por SMS! Oh, ¡lúcido por una vez!

Y, querido diario, en el fondo es tan sencillo como que tampoco tengo picador de ajos, es una tecnología prescindible. Ya lo dijo Ay: "El monoteísmo... ¿qué futuro tiene el monoteísmo?".

-Pero ahí hay algo más, una cuestión ideológica de fondo.

Sí, bueno, no, este, hum...

Al final, sin saber yo cómo, la cosa viró a

-¡No se trata solo de tus necesidades!

Con frases así, en las mesas circundantes nadie se iba a creer que no hacía aún media hora que nos conocíamos. Yo me limité a hacer como si hubiera caído una bomba cerca que no me hubiera dejado oír bien lo que me decía.

Y el caso es que el tatuaje le quedaba muy bien; pero por otra parte la frase como que me traía desagradables ecos de discusiones futuras. Tatuaje en la pierna. Ecos de discusiones futuras. Tatuaje. Ecos. Tatuaje. Ecos. Luz. Polilla. Yo qué sé.

También es verdad que podía haber empezado las hostilidades yo sin advertirlo cuando le pregunté:

-Y, ya que ha salido el tema, ¿cómo llevas el que se rían de ti?

Que en su contexto había sido una pregunta con el máximo respeto y desde la simpatía y el cariño; pero supongo que es inevitable que luego también te caigan bofetadas a ti.

Y todo, por intentar ser amable.

Cuando hubimos terminado los cafés, ocurrió otro suceso de los más asombrosos. Atento, diario. Al pedir ella otro café, la camarera no solo se fue sin comprobar si yo quería algo (esto no es asombroso, es lo normal) sino que procedió a volver al establecimiento por una ventana. Cuando me recuperé de la sorpresa tampoco quise desconcentrarla llamándola, pues estaba en dudoso equilibrio con una pierna dentro y la otra fuera. A ver si se cae encima de alguien que estaba jugando al mus y la tenemos.

Quizá se llame "Cafetería La Cámara Oculta". Los viernes por la tarde pasan los vídeos de la semana y los parroquianos se mueren de risa.

Para el final del segundo café ya era prácticamente la hora de comer. Además, llovía. Seguro que ella pensó lo mismo, porque me preguntó:

-¿Has visto alguna vez el Museo de Bellas Artes?

Y yo no lo había visto, o sí pero no me acordaba por mi falta de memoria visual, y además nunca había comido en un museo. (Una vez cené en una cava, pero hubo un incendio y no tuvieron tiempo de pasarnos la cuenta.)

Ya dentro del edificio, me dejé guiar por la experta.

-Si te parece, subimos hasta el último piso y vamos bajando.

Arriba, entramos en una sala. Había un montón de cuadros, repartidos por todas las paredes menos el techo.

-Este me gusta mucho -me señaló. Era el retrato de una mujer estirando el brazo, por lo que posiblemente se llamara La abducción. El autor venía en los subtítulos del cuadro pero solo recuerdo que era español. Por ello imagino que sería algo de la Guerra Civil, como el cine español en general.

Un piso más abajo dominaba la temática religiosa. Ella observó:

-No me gusta nada la pintura religiosa. No son más que escenas desagradables.

Yo pensé: "Vaya, tampoco está el comedor en este piso". Y no me extrañó, porque ¿quién puede abandonarse a la gastronomía al lado de un mártir? Lo que sí había es muchos empleados ociosos dando vueltas de un sitio a otro. En ese restaurante había más camareros que clientes, y eso que era la hora de comer. La crisis, imagino...

En el siguiente piso nos sentamos en un banco. "¡Al fin!", pensé. "Ahora nos traen unas bandejas con ruedinas y la carta mientras contemplamos estos cuadros. Yo pediré gambas al ajillo". Una mujer con gafas salió de detrás de algo pero se fue por otro sitio. Luego, no vino nadie.

-Yo soy muy fan de Sorolla -reveló mi guía, con aplomo.

Desde luego, querido diario, nadie puede negar que es todo un maestro de la incorrección política y la burda provocación gratuita. Y, a mí, pues nunca me ha ido el papel de bourgeois épaté. En cambio, ella parecía analizar, escrutadora, la durísima imagen de tres niños desnudos sin ropa esperando en la orilla, indefensos, a que unos hombres aparentemente también desnudos de cuerpo y mente vuelvan del mar. Si alguien decidiera mandarme al móvil imágenes de semejante jaez, iría yo mismo a denunciarlo antes de que pudiera aparecer en mi casa una brigada contra la pornografía infantil, lo que no tardaría en ocurrir a poca eficiencia y asertividad que tuvieran los agentes.

Y es que el tal Sorolla es de los que, con tal de crear controversia para que le compren sus cuadros, se dedica a provocar por provocar, arrebañando la hez de la condición humana y esparciéndola con dadivosidad por sus pinturas.

Chasco sonoro. Brutal decepción. Y nada de gambas.

Ay, cuánto ha cambiado el arte desde tus tiempos. Qué te voy a contar a ti, que viste esculpir el busto de tu hija y suegra Nefertiti. Cuánto ha decaído la moral, y con ella el arte. Ahora la gente viaja en moto, y se hace tatuajes, y seguro que siguen en Twitter a Sorolla y a otros sicofantes patafísicos como él.