La lógica subyacente a las matemáticas (III)

Primera parte.

Segunda parte.


Decíamos que, antes de volver a la lógica difusa y para entender lo que puede significar "una lógica" en lugar de "la lógica", echaríamos un ojo a la lógica de Lukasiewicz. En esta entrada respondemos las tres preguntas con que acabábamos: qué es una lógica multivaluada (o polivalente, o como se quiera decir), con qué propósito vino al mundo y cómo funciona exactamente.


Qué: es una lógica en la cual hay más de dos valores de verdad. En la lógica clásica, una proposición puede tener uno de los dos siguientes valores: verdadero o falso. Las cuestiones lógicas dependen exclusivamente del valor de verdad de las proposiciones y no de lo que signifiquen concretamente, lo que podemos escribir en forma de las famosas "tablas de verdad". Por ejemplo, si tenemos que P es verdadera y Q es verdadera, entonces la proposición "P y Q" que afirma tanto P como Q es verdadera, digan lo que digan P y Q. Así formaríamos la tabla

P Verdadero y Q Verdadero => "P y Q" Verdadero
P Verdadero y Q Falso => "P y Q" Falso
P Falso y Q Verdadero => "P y Q" Falso
P Falso y Q Falso => "P y Q" Falso

En una lógica multivaluada, sin embargo, una proposición puede ser verdadera, falsa o más cosas. Por tanto, una lógica multivaluada no puede ser clásica, aunque sí hay lógicas no clásicas que no son multivaluadas; por ejemplo, la lógica intuicionista.


Para qué: ¿Qué proposiciones podrían no ser ni verdaderas ni falsas? El trabajo de Lukasiewicz en 1910 se refiere al problema de los "contingentes futuros" en Aristóteles, pues ya este se había planteado si las proposiciones que afirman cosas sobre el futuro (contingentes, o sea que podrían ocurrir o no ocurrir) son verdaderas o falsas, o ninguna de las dos.

Según Lukasiewicz, "La humanidad se extinguirá el 18 de abril de 2450" no es ni verdadera ni falsa (no lo será hasta el 18 de abril de 2450 o el día que se extinga la humanidad, lo que ocurra primero, que probablemente será lo segundo), pero eso no nos impide razonar sobre ella si añadimos un nuevo valor de verdad, que podemos interpretar como "indeterminado".

Aquí podríamos debatir sobre si eso es así o bien es verdadera o falsa pero no sabemos cuál de las dos. A mi modo de ver eso sería estéril, ya que la estrategia de la lógica de reducir el análisis de las proposiciones al de sus valores de verdad parte de la suposición de que existe un conjunto de proposiciones iniciales del cual podemos asegurar con total certidumbre que son verdaderas, y que podemos utilizar para deducir posteriores proposiciones igualmente verdaderas (volvemos a los axiomas: todo está relacionado). En cuanto metemos en nuestros razonamientos premisas cuyo valor de verdad es desconocido, el que los razonamientos sean correctos no nos garantiza conclusiones verdaderas. Lo que ofrece Lukasiewicz es una forma de seguir razonando pero manteniendo una contabilidad precisa de qué conclusiones están contaminadas por la "indeterminación" y cuáles no.

Podría pensarse que esto no es útil porque la "indeterminación" se extenderá como un cáncer rápidamente haciendo que casi todas nuestras conclusiones sean indeterminadas. Para llegar al fondo de esto, debe quedar claro que el valor "indeterminado" de Lukasiewicz no se corresponde con la idea de "desconocido", como podría parecer.


Cómo: Veámoslo mostrando la tabla de verdad para "P y Q". Si P y Q son proposiciones "normales" de las que son verdaderas o falsas, entonces es la misma que pusimos antes. Pero si alguna de ellas es indeterminada, tenemos

P Verdadero y Q Indeterminado => "P y Q" Indeterminado
P Indeterminado y Q Verdadero => "P y Q" Indeterminado
P Indeterminado y Q Indeterminado => "P y Q" Falso
P Indeterminado y Q Falso => "P y Q" Falso
P Falso y Q Indeterminado => "P y Q" Falso

Que levante la mano el que no habría puesto
P Indeterminado y Q Indeterminado => "P y Q" Indeterminado.
Supongo que la razón de Lukasiewicz para no hacerlo es la siguiente. Tomemos

P = "La humanidad se extinguirá el 18 de abril de 2450"
Q = "La humanidad se extinguirá el 19 de abril de 2450".

Aunque cada una podría ser cierta por separado, no pueden serlo las dos a la vez y "P y Q" sería falsa. Por otra parte, podríamos tomar

P = "La humanidad se extinguirá el 18 de abril de 2450"
Q = "Mañana descarrilará un tren en Albacete",

en cuyo caso "P y Q" sería indeterminada.

Recordemos que la idea es obtener un cálculo lógico que sólo dependa de los valores de verdad de P y Q, por lo que tenemos dos opciones de esas que no se discriminan racionalmente sino que cada cual se queda con la que tiene más a mano.

La opción 1 es que Lukasiewicz intenta algo que no se puede hacer. Si el carácter de "P y Q" depende del significado de P y Q, y no sólo del carácter de P y el del Q, el programa que entiende que la validez de un razonamiento sólo involucra los valores de verdad (y no los significados) ya no puede funcionar.

La opción 2 es asignar un valor de verdad a "P y Q" y ver qué podemos hacer con él. Asignar el peor caso posible es una decisión razonable en que es conservadora: al considerar "P y Q" falsa ya no podremos usarla como punto de partida de nuevas deducciones, con lo que estamos seguros de no tomar afirmaciones falsas por indeterminadas (o verdaderas). Así se preserva la intención de fondo: las conclusiones etiquetadas verdaderas son verdaderas, las etiquetadas indeterminadas son indeterminadas y las etiquetadas falsas no son verdaderas, aunque no necesariamente son falsas. Es decir, podemos hacer casi todo lo que hacíamos con la lógica clásica (no todo) aunque tenemos que distinguir entre lo siempre que se consideró "ser" falso con recibir la "etiqueta" falso.

En el contexto clásico, si creemos en que las proposiciones de nuestra base inicial de conocimientos son realmente ciertas y que las leyes de la lógica son ciertas, todas aquellas proposiciones que "las inexorables leyes de la lógica" nos lleven a etiquetar como falsas serán realmente falsas y todas las que etiquetemos como verdaderas serán realmente verdaderas.

La cuestión es que el cálculo lógico de Lukasiewicz es una herramienta para etiquetar proposiciones. Podemos etiquetar más proposiciones que en el caso clásico, ya que tenemos de partida todas las que creamos verdaderas y todas las que consideremos indeterminadas. La diferencia es que ya no podemos creer "que las leyes de la lógica son ciertas", es decir, que hay unas tablas de la ley cuya obediencia convierte todas nuestras etiquetas en realidad; aunque sí hay unas tablas de la ley que convierten casi todo lo que dicen nuestras etiquetas en realidad.

En cualquier caso, la suposición de que las etiquetas reflejan la realidad se basa en la hipótesis de partida de que todos nuestros conocimientos iniciales son verdaderos. Nadie cree realmente que todos los conocimientos necesarios para justificar todas las proposiciones que cree verdaderas son a su vez verdaderos. Por lo menos, nadie que sepa lo que la palabra "sorpresa" significa.

Por lo cual, en el fondo el cálculo lógico clásico no deja de ser igualmente una herramienta de etiquetado.