La lógica subyacente a las matemáticas (I)

Por una vez, vamos a hablar de algo interesante que a lo mejor les compensa de todas las tonterías que digo normalmente.

Las matemáticas consisten en convertir café en teoremas, y un teorema es un enunciado que se deduce lógicamente de un conjunto de axiomas aceptados como punto de partida. En principio, axioma significaba una verdad tan palmaria e incontestable como para adoptarla como fundamento. Así, frente a un enunciado cuya veracidad no es palmaria ni incontestable, si podemos establecer una cadena de deducciones que conduzca a él desde los axiomas, nos creeremos que es verdad también. Al programa que pretende reordenar lógicamente todos los conocimientos de una disciplina o teoría, mostrando que se deducen de una cantidad mínima de principios organizadores, podemos llamarlo un intento de axiomatizar esa disciplina.

¿Es posible axiomatizar algo? No lo sé. En principio (mucho más tarde que el "en principio" de antes) se pensó que sí. Hay dos formas de mirar a los axiomas: una es como herramientas para descubrir enunciados verdaderos de la teoría, o para descubrir que enunciados de la teoría son verdaderos. Otra es como base de una versión de la teoría, presuntamente más seria y madura, que sustituye a la anterior.

Para entendernos, imaginemos el siguiente enunciado: "Todo triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales". Tenemos muy claro que esto es así, por lo menos si estamos entre los que se acuerdan de que los isósceles son los que tienen dos lados iguales. Pero, según la segunda perspectiva de los axiomas, este conocimiento por familiaridad, intuitivo o, dicho finamente, heurístico, es inferior al que procede de una deducción rigurosa a partir de los axiomas.

Por lo tanto, el programa axiomático no sólo pretende mejorar la teoría existente
-aportando unos principios clarificadores con gran poder explicativo
-aportando una metodología adicional para alcanzar conocimientos bien fundamentados
sino que, en esa "segunda vuelta", también pretende
-sustituir a la anterior metodología de obtención de conocimiento
-redefinir el objeto de esa disciplina o teoría de forma más abstracta, no como el estudio de determinados fenómenos u objetos sino como el estudio de las consecuencias de determinados axiomas.

Ahora bien, ¿pueden los axiomas "identificar" el objeto de estudio que nos interesa, entre todas las cosas posibles del universo? Si esto no fuese así, el procedimiento de deducción a partir de los axiomas podría ser incapaz de alcanzar algunos conocimientos verdaderos. Por ejemplo, si existiera la naranjología, podría haber llegado a unos axiomas y habría unos naranjólogos intentando deducir de ellos las propiedades conocidas de las naranjas. Supongamos que en esa tierra imaginaria no conocieran las manzanas, pero que tanto las naranjas como las manzanas cumplen esos axiomas. Entonces, de ellos nunca podrían deducir todas las propiedades de las naranjas, sino sólo aquellas que sean comunes a las manzanas y a las naranjas. Los dos tipos de frutas son modelos de esos axiomas, y como máximo podremos aspirar a deducir de los axiomas aquellas propiedades que sean comunes a todos sus modelos.

Y ahora parece que voy a pasar a hablar de la indecibilidad y de Gödel (ya que las propiedades que unos modelos tienen y otros no, son las que se llaman indecidibles), pero no es así. De lo que se trata es de examinar qué pasa cuando en la frase "deducir lógicamente" abandonamos la lógica clásica y la reemplazamos por otra cosa. Aunque eso ya lo hicieron los intuicionistas, nosotros hablaremos del fascinante intento en los últimos años de crear unas "matemáticas difusas" por parte de un pequeño grupo de lógicos checos. La semana pasada estuve en el congreso mundial de la cosa difusa y hubo una charla muy interesante de Libor Behounek que pasaré a contarles en breve.