La lógica subyacente a las matemáticas (IV)

Primera parte.
Segunda parte.
Tercera parte.


La lógica de Lukasiewicz no agota su aplicación en esos "contingentes futuros". Otro tema que él tocó es el de la vaguedad, que es mucho más cercano al ámbito de la lógica difusa.

Una expresión es vaga cuando admite casos límite o frontera en los que ni la expresión ni su contraria resultan adecuadas. Por ejemplo, nos enseñan una imagen de un aparcamiento de 100 plazas, y nos preguntan sobre el número de coches. Concretamente, nos preguntan si son muchos.

Aquí, un primer problema es la ambigüedad del término "muchos". ¿Significa "muchos" para el que pregunta lo mismo que para el que responde? Para esquivar este problema, nos centramos sólo en lo que el sujeto del experimento, que somos nosotros, considera "muchos".

Si hay 80, probablemente dirá que sí, que son "muchos". Si hay 3, que no, no son "muchos". Si hay 23, ó 18, ó 41, quizá responda que "depende". Si nos referimos a muchos para ser medianoche en un área recreativa a la salida de la ciudad, diremos que sí, 18 son muchos y anuncian un fuerte incremento de la natalidad en el futuro cercano. Si nos referimos a muchos para ser mediodía junto a una playa un soleado domingo, diremos que no, que 18 no son muchos. Este segundo tipo de incertidumbre en el lenguaje es la dependencia del contexto, y tampoco es la vaguedad de la que estamos hablando.

Pero, aun fijando con precisión el contexto, lo más probable es que no podamos dar un número exacto de coches a partir del cual los coches que hay en el aparcamiento sean "muchos", y por debajo del cual sean "no muchos". Esto es: podemos hacerlo por definición, poniéndonos de acuerdo en usar la palabra "muchos" como sinónimo de "más de 43"; pero estaremos de acuerdo en que eso no resuelve la cuestión. Es exactamente como los intentos de acabar con el fracaso escolar cambiando la definición de "fracaso escolar" o de que baje el paro cambiando la definición de "paro".

Lo normal será que, salvo que medie una severa deformación profesional, uno piense que el que los coches sean 43 ó 44 no cambia el que sean muchos o no (véase la paradoja del montón) y que no tiene sentido empeñarse en que 44 son muchos pero 43 no son muchos. Por contra, habrá una zona frontera entre el ser muchos y el no ser muchos.

Con la lógica de Lukasiewicz, podemos usar el valor de verdad "Indeterminado" para esta situación. Por ejemplo,

"78 coches son muchos" es Verdadero
"12 coches son muchos" es Falso
"43 coches son muchos" es Indeterminado

Aquí, quien tenga alma de filósofo nos reprochará que nos opongamos a que el número de coches se clasifique en dos categorías para clasificarlo en tres, con lo cual -nos dirá- multiplicamos el problema por dos, ya que tendremos el mismo problema para distinguir si, por decir algo, "19 son muchos" es Indeterminado o Falso, o si "64 son muchos" es Indeterminado o Verdadero. Como no somos filósofos, no le haremos caso; si se enfada, diciendo que eso conduce a una regresión infinita, tampoco. Con ello demostraremos no pertenecer a esa casta especial retratada de forma tan simpática en la Enciclopedia; pero no nos van a negar la entrada en ningún bar por ello.

Ahora en serio, una de las cosas que históricamente se ha argumentado contra la lógica difusa es que nos permite coexistir con la vaguedad, cuando lo que hay que hacer con la vaguedad es eliminarla. Se suele invocar la traída y llevada cita de Kelvin: "A menudo digo que cuando puedes medir aquello de lo que hablas, y expresarlo con números, sabes algo sobre ello; pero, cuando no puedes expresarlo con números, tu conocimiento es de un tipo pobre e insatisfactorio." Según esta idea, deberíamos poner todo de nuestra parte para evitar palabras como "muchos" y utilizar en su lugar números precisos.

Nadie dice que esto no sea lógico y razonable, si no se llevan las cosas más allá de cierto punto. Un problema concreto tiene un grado natural de precisión y de poco o nada sirve violentarlo. Por ejemplo, yo sé que si alguien se atraganta y se le pone la cara verde, hay que practicarle la maniobra de Heimlich. No imagino en qué mejoraría mi capacidad de resolver ese problema si me dijeran la longitud de onda precisa en lugar de "verde". Esto, que en una conversación entre humanos es un absurdo, es de gran importancia cuando se trata de enseñar a una máquina a hacer algo que los humanos saben hacer, en este caso reconocer cuándo alguien tiene la cara verde. Los "greatest hits" de la metodología difusa, como el helicóptero que vuela y aterriza solo (y otros problemas de control no lineal como el metro que conduce solo), se han basado en traducir el conocimiento de un experto, expresado lingüísticamente, y codificarlo de forma que se pueda computar con él.

(Otras técnicas como, yo qué sé, algoritmos genéticos o redes neuronales, se basan en ideas radicalmente distintas y no en que el ordenador haga un conjunto de cálculos que representan razonamientos similares a los que podría hacer una persona.)

Al final, dado que somos capaces de realizar muchas tareas partiendo de percepciones inherentemente imprecisas (en lugar de mediciones precisas), parece que la idea es razonable. No sólo eso, sino que me parece totalmente compatible con la frase de Kelvin: al fin y al cabo, se trata de coger palabras del lenguaje natural y tratar de formalizarlas matemáticamente, aunque no sea precisamente con números. Como siempre he dicho cuando he dado una charla a un público que no conoce la cosa difusa, la diferencia es que uno puede decir "(pocos + muchos + muchos) / 3" y que esa operación tenga tanto sentido como (2+3+5)/3.

(Entonces miro a la gente y veo que
a) Unos ponen cara de pensar: "¡Qué curioso!"
b) Otros ponen cara de pensar: "¡Menuda majadería!"
c) La mayoría piensa: "¡Acabamos de empezar y ya tengo ganas de que acabe!")