La lógica subyacente a las matemáticas (II)

Primera parte.

He tenido escrita una larga continuación desde hace tiempo, pero me ha salido muy mal y he estado esperando a ver si se corregía por sí misma (lo que no ha hecho). Si sigo esperando va a llegar a la adolescencia y ya no tendrá remedio, así que vale más aceptarla como es y hacernos la consabida pregunta: ¿en qué nos hemos equivocado?

Moraleja: no escribir sin plan y sin un mínimo esquema previo.



Habíamos quedado en que los ingredientes fundamentales de lo que íbamos a contar eran los axiomas, los teoremas y los modelos. Y lo que íbamos a contar es que una pandilla de simpáticos checos han cargado sobre sus espaldas el programa de desarrollar una matemática basada en la lógica difusa.

Parece que tendremos que vérnoslas con eso de la lógica difusa. A eso va dedicada esta entrada (o iría, si me hubiera salido bien). Imaginemos que un robot conductor de taxis tiene programada la siguiente regla:
Si el semáforo está en rojo, parar.
Ahora imaginemos que el robot gira una esquina y, para su sorpresa y la nuestra, ve un semáforo en marrón. Si el robot obedece la lógica difusa, podría tomar la decisión de reducir su velocidad a la mitad.

Esta historia es un poco críptica y además no hay que tomársela en serio; pero me gusta mucho, porque ilustra gráficamente tanto la idea de razonamiento aproximado como los problemas semánticos que se pueden plantear en la aplicación de estos conceptos.

"Razonamiento aproximado" quiere decir que el robot ve el marrón como un color intermedio entre rojo y verde, por ejemplo porque recibe un 50% de luz en los sensores de color rojo y un 50% en los de verde. Entonces se dispara la acción consecuencia de la regla, pero sólo con una fuerza del 50%, con lo que la decisión tomada será reducir la velocidad a la mitad.

Si el robot obedeciera la lógica clásica, puesto que el antecedente sería falso (el semáforo no está en rojo) la acción de parar no se ejecutaría. Según lo que toda la vida ha sido el objeto de la lógica (estudiar las reglas del razonamiento válido), el razonamiento del robot es incorrecto, ya que hace cosas cuando no se cumplen las condiciones establecidas para que las haga. Pero esto nos aleja de nuestros propósitos, así que quizá volvamos a ello otro día.

En lugar eso, preguntémonos: ¿describe la lógica clásica las reglas del razonamiento válido, es decir, aquel con el cual de premisas verdaderas nunca llegaremos a conclusiones falsas? (aquí ya empieza la cosa a desviarse sin remedio) Bien, al oponer cosas verdaderas a cosas falsas estamos en realidad trayendo a colación aquel principio llamado del "tercero excluido" (o "tercio excluso" para quienes tengan unos años más), a saber, que una proposición es o verdadera o falsa, sin que quepa que no sea verdad ni mentira sino todo lo contrario. O el mayordomo es el asesino o no lo es, sin que sea posible que a la vez el mayordomo ni sea el asesino ni no lo sea. En el ejemplo anterior, o se cumplen las condiciones establecidas o no se cumplen.

Habrán notado que nuestro propio lenguaje está construido de forma que decir "El mayordomo no no-es el asesino" no es posible, por lo que hace falta coger algo de práctica para no dejarse pillar en la trampa lingüística.

En cualquier caso, la cuestión ahora es: Si la lógica pretende garantizar que a premisas ciertas siempre les sigan conclusiones ciertas, ¿es posible que haya varias lógicas distintas? Si una nos dice una cosa y otra otra, ¿cómo van a ser ambas "correctas"? ¿No será que sólo hay una lógica "verdadera"?

La mejor forma de enfocar esto es darle la vuelta al calcetín: todos nosotros suscribimos la "lógica clásica", que da forma incluso a la estructura de nuestro lenguaje; por tanto, preguntémonos cuál es el ambito de esa lógica, es decir, en qué situaciones se corresponde con la realidad. ¿Es universal o hay situaciones a las que no se adapta?

(Como pista, dejaremos caer que la inferencia "Hoy está lloviendo, luego es posible que hoy esté lloviendo" es inválida en la lógica clásica.)

Hay muchas personas que creen que el ámbito de la lógica clásica es universal. En la mayor parte de los casos, es porque nunca se han hecho la pregunta. Por ejemplo, Dennis Lindley (un señor del que hay un premio con su nombre) habla de "reglas cuya violación parecería ridícula" que "nos son dictadas por las inexorables leyes de la lógica".

Para ver situaciones en las que las inexorables leyes de la lógica no son inexorables, vamos a fijarnos en Jan Lukasiewicz. Este fue un lógico polaco (que con Lesniewski fundó la escuela polaca de lógica matemática cuyo máximo exponente fue Tarski, y por cuyas manos pasaron otros matemáticos famosos como Banach) que parece ser que inventó la primera lógica multivaluada. Las preguntas que se nos plantean son qué (es una lógica multivaluada), para qué (la inventó) y cómo (funciona). Eso, en la tercera parte.