La lógica subyacente a las matemáticas (V)

Primera parte.
Segunda parte.
Tercera parte.
Cuarta parte.


Habíamos visto la lógica ternaria de Lukasiewicz, en la que una proposición puede ser verdadera, falsa o "indeterminada". También dijimos que eso nos da una posible forma de tratar con expresiones del lenguaje natural que tienen un tipo especial de incertidumbre llamado "vaguedad".

Desde el punto de vista filosófico, el juicio de Lukasiewicz al final de su vida es que su propuesta no había llegado a resolver esos problemas. A fecha de hoy, de hecho las lógicas multivaluadas no son el enfoque favorito de los filósofos, que pueden preferir el supervaluacionismo de Fine (y otros) o la vaguedad epistémica de Williamson (y otros).

(Para el supervaluacionismo, "43 son muchos" sería cierta en algunas definiciones de la palabra "muchos"="más de x" y falsa en otras, mientras que "78 son muchos" sería cierta para todas las definiciones, es decir, supercierta, y "12 son muchos" sería superfalsa; para el enfoque epistémico, existe un valor x tal que "muchos"="más de x", sólo que los humanos no lo conocen... la vaguedad se interpreta como una forma de ignorancia.)

En cualquier caso, existen razones más allá de las filosóficas, así que nosotros a lo nuestro. Un dibujo cutre con el Paint del conjunto que representa "muchos" sería el siguiente:

A diferencia de los conjuntos "de toda la vida", para los que pintábamos una línea que separa los elementos que están dentro (pertenecen al conjunto) de los están fuera (no pertenecen), un "Lukaconjunto" (nombre inventado) no está limitado por una línea sino por una banda (la zona gris claro) sobre la que puede haber elementos.

Un conjunto "de los de toda la vida" sería un conjunto en que la frontera estuviera vacía y todos los individuos o bien pertenecieran o bien no pertenecieran al conjunto. Así, hay más conjuntos en esta lógica que en la lógica clásica, por lo cual no es inconcebible que pudieran servir para modelizar más cosas.

Por otra parte, podemos "reescribir" estos Lukaconjuntos usando conceptos de la teoría de conjuntos clásica, identificando cada Lukaconjunto con una función que nos dice para cada elemento si está dentro, en la frontera o fuera. O, alternativamente, con un par de conjuntos que serían la zona gris (tanto claro como oscuro) y la zona gris oscuro. (En el lenguaje de difusos, se llaman el soporte y el núcleo.)

Esto es, la teoría clásica de conjuntos es un lenguaje suficientemente amplio para definir en él un modelo de los Lukaconjuntos: hay objetos que podemos construir con la base que nos proporcionan los conjuntos clásicos y que cumplen los axiomas de los Lukaconjuntos. Aunque no lo parezca, esto es muy cercano a lo que yo quería contar cuando empecé esto, así que antes o después volveremos a este párrafo.

Los Lukaconjuntos no son conjuntos clásicos en el sentido de que no cumplen todos los axiomas de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, una relación básica en la teoría de conjuntos es "ser elemento de", y sabemos que dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen exactamente los mismos elementos. Definamos como definamos "ser elemento de" en el contexto de Lukasiewicz, habrá Lukaconjuntos distintos que tendrán los mismos elementos.

(En un universo finito de n elementos hay 2^n conjuntos pero hay 3^n Lukaconjuntos, con lo cual la cosa está clara.)

Podemos calcular la unión y la intersección de dos Lukaconjuntos usando la lógica de Lukasiewicz: "x pertenece a la unión de A y B" tiene el valor de verdad que tenga " "x pertenece a A" ó "x pertenece a B" ", que es lo mismo que decir que el núcleo de la unión (zona gris oscuro) está formado por la unión de los núcleos más aquellos elementos que estén en ambos soportes, y el soporte de la unión (zona gris claro) es la unión de los soportes.

(A lo mejor, alguien se preguntaba si las tres zonas que definen un Lukaconjunto se correspondían con los conceptos topológicos de interior, frontera y exterior, con lo que el núcleo correspondería al interior del conjunto y el soporte a la clausura. Ya vemos que no, pues tendríamos que el interior de una unión sería la unión del interior de A, el interior de B y la intersección de las clausuras, fórmula que no es cierta en general (aunque sí es cierta la inclusión de izquierda a derecha). Sí coincide, en cambio, la otra mitad: "El soporte de la unión es la unión de los soportes" viene a ser lo mismo que "La clausura de la unión es la unión de las clausuras".)

También podemos calcular el complementario de un Lukaconjunto (es decir, el Lukaconjunto definido por la negación de una propiedad), para lo que simplemente invertimos los colores del dibujo: 12 serían no-muchos, 78 no serían no-muchos y 43 estarían en la frontera de los no-muchos.

El álgebra de Lindenbaum-Tarski de la lógica de Lukasiewicz (es decir, la estructura algebraica que tienen los Lukaconjuntos de un universo dado) no es un álgebra de Boole como en el caso clásico. Esto hay dos formas de verlo: una, existencial, por el teorema de representación de Stone en su versión para todos los públicos, que nos dice que toda álgebra de Boole es isomorfa al álgebra de Boole formada por los subconjuntos de un conjunto universal. Como hay más Lukaconjuntos que conjuntos, por narices no pueden formar un álgebra de Boole. La otra forma de verlo es identificar propiedades de las álgebras de Boole que se incumplen. Por ejemplo, en un álgebra de Boole la operación de complementación cumple las siguientes propiedades:

-La unión de los complementarios es el total.
-La intersección de los complementarios es el vacío.

Podemos comprobar, si tenemos tiempo libre, que los Lukaconjuntos cumplen la segunda pero no la primera (en un lenguaje distinto que ya hemos visto, cumplen el principio de no contradicción pero no el del tercero excluido).

Otras propiedades útiles sí se cumplen, como las leyes de De Morgan. Sin embargo, con una propiedad que parece tan inocua como la de idempotencia ocurren sorpresas. En un álgebra de Boole,

-La unión de un conjunto consigo mismo es él mismo.
-La intersección de un conjunto consigo mismo es él mismo.

Esto se llama "idempotencia". Inesperada y curiosamente, la unión o intersección consigo mismo de un Lukaconjunto siempre es un conjunto clásico. La unión de A y A es el soporte de A, y la intersección de A y A es el núcleo de A. En consecuencia, todos los Lukaconjuntos que no son conjuntos (es decir, que el soporte y el núcleo son distintos, o que tienen elementos en la frontera) incumplen la idempotencia.

En este punto, la gente se divide en dos grupos: los que les parece normal y los que les parece aberrante.

Por supuesto, si volvemos atrás al punto en que dijimos que "Indeterminado Y Indeterminado es Falso" y lo cambiamos por "Indeterminado Y Indeterminado es Indeterminado", obtendremos una lógica ternaria que es idempotente pero que no es la de Lukasiewicz sino que la utilizó Gödel un día en una demostración y por tanto, como el nombre de Gödel luce mucho, se ha quedado para siempre como "lógica multivaluada de Gödel".

(La estructura algebraica asociada a los Lukaconjuntos se llama "MV-algebra", MV por "multi-valued"; la que corresponde a los conceptos de interior, exterior y frontera es el "álgebra de Heyting" que corresponde a la lógica intuicionista, y que tiene un teorema similar al de Stone pero en lugar de álgebras de conjuntos la representación se hace con topologías*. Es decir, en la representación sólo aparecen los conjuntos abiertos, con lo cual la operación de complementación es tomar el exterior del conjunto y por eso también se cumple la no contradicción pero se incumple el tercero excluido ya que la intersección del interior y el exterior es el vacío, pero la unión del interior y el exterior no es el total, en general.)


*Aunque no válido para todas las álgebras de Heyting.