La lógica subyacente a las matemáticas (V)

Primera parte.
Segunda parte.
Tercera parte.
Cuarta parte.


Habíamos visto la lógica ternaria de Lukasiewicz, en la que una proposición puede ser verdadera, falsa o "indeterminada". También dijimos que eso nos da una posible forma de tratar con expresiones del lenguaje natural que tienen un tipo especial de incertidumbre llamado "vaguedad".

Desde el punto de vista filosófico, el juicio de Lukasiewicz al final de su vida es que su propuesta no había llegado a resolver esos problemas. A fecha de hoy, de hecho las lógicas multivaluadas no son el enfoque favorito de los filósofos, que pueden preferir el supervaluacionismo de Fine (y otros) o la vaguedad epistémica de Williamson (y otros).

(Para el supervaluacionismo, "43 son muchos" sería cierta en algunas definiciones de la palabra "muchos"="más de x" y falsa en otras, mientras que "78 son muchos" sería cierta para todas las definiciones, es decir, supercierta, y "12 son muchos" sería superfalsa; para el enfoque epistémico, existe un valor x tal que "muchos"="más de x", sólo que los humanos no lo conocen... la vaguedad se interpreta como una forma de ignorancia.)

En cualquier caso, existen razones más allá de las filosóficas, así que nosotros a lo nuestro. Un dibujo cutre con el Paint del conjunto que representa "muchos" sería el siguiente:

A diferencia de los conjuntos "de toda la vida", para los que pintábamos una línea que separa los elementos que están dentro (pertenecen al conjunto) de los están fuera (no pertenecen), un "Lukaconjunto" (nombre inventado) no está limitado por una línea sino por una banda (la zona gris claro) sobre la que puede haber elementos.

Un conjunto "de los de toda la vida" sería un conjunto en que la frontera estuviera vacía y todos los individuos o bien pertenecieran o bien no pertenecieran al conjunto. Así, hay más conjuntos en esta lógica que en la lógica clásica, por lo cual no es inconcebible que pudieran servir para modelizar más cosas.

Por otra parte, podemos "reescribir" estos Lukaconjuntos usando conceptos de la teoría de conjuntos clásica, identificando cada Lukaconjunto con una función que nos dice para cada elemento si está dentro, en la frontera o fuera. O, alternativamente, con un par de conjuntos que serían la zona gris (tanto claro como oscuro) y la zona gris oscuro. (En el lenguaje de difusos, se llaman el soporte y el núcleo.)

Esto es, la teoría clásica de conjuntos es un lenguaje suficientemente amplio para definir en él un modelo de los Lukaconjuntos: hay objetos que podemos construir con la base que nos proporcionan los conjuntos clásicos y que cumplen los axiomas de los Lukaconjuntos. Aunque no lo parezca, esto es muy cercano a lo que yo quería contar cuando empecé esto, así que antes o después volveremos a este párrafo.

Los Lukaconjuntos no son conjuntos clásicos en el sentido de que no cumplen todos los axiomas de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, una relación básica en la teoría de conjuntos es "ser elemento de", y sabemos que dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen exactamente los mismos elementos. Definamos como definamos "ser elemento de" en el contexto de Lukasiewicz, habrá Lukaconjuntos distintos que tendrán los mismos elementos.

(En un universo finito de n elementos hay 2^n conjuntos pero hay 3^n Lukaconjuntos, con lo cual la cosa está clara.)

Podemos calcular la unión y la intersección de dos Lukaconjuntos usando la lógica de Lukasiewicz: "x pertenece a la unión de A y B" tiene el valor de verdad que tenga " "x pertenece a A" ó "x pertenece a B" ", que es lo mismo que decir que el núcleo de la unión (zona gris oscuro) está formado por la unión de los núcleos más aquellos elementos que estén en ambos soportes, y el soporte de la unión (zona gris claro) es la unión de los soportes.

(A lo mejor, alguien se preguntaba si las tres zonas que definen un Lukaconjunto se correspondían con los conceptos topológicos de interior, frontera y exterior, con lo que el núcleo correspondería al interior del conjunto y el soporte a la clausura. Ya vemos que no, pues tendríamos que el interior de una unión sería la unión del interior de A, el interior de B y la intersección de las clausuras, fórmula que no es cierta en general (aunque sí es cierta la inclusión de izquierda a derecha). Sí coincide, en cambio, la otra mitad: "El soporte de la unión es la unión de los soportes" viene a ser lo mismo que "La clausura de la unión es la unión de las clausuras".)

También podemos calcular el complementario de un Lukaconjunto (es decir, el Lukaconjunto definido por la negación de una propiedad), para lo que simplemente invertimos los colores del dibujo: 12 serían no-muchos, 78 no serían no-muchos y 43 estarían en la frontera de los no-muchos.

El álgebra de Lindenbaum-Tarski de la lógica de Lukasiewicz (es decir, la estructura algebraica que tienen los Lukaconjuntos de un universo dado) no es un álgebra de Boole como en el caso clásico. Esto hay dos formas de verlo: una, existencial, por el teorema de representación de Stone en su versión para todos los públicos, que nos dice que toda álgebra de Boole es isomorfa al álgebra de Boole formada por los subconjuntos de un conjunto universal. Como hay más Lukaconjuntos que conjuntos, por narices no pueden formar un álgebra de Boole. La otra forma de verlo es identificar propiedades de las álgebras de Boole que se incumplen. Por ejemplo, en un álgebra de Boole la operación de complementación cumple las siguientes propiedades:

-La unión de los complementarios es el total.
-La intersección de los complementarios es el vacío.

Podemos comprobar, si tenemos tiempo libre, que los Lukaconjuntos cumplen la segunda pero no la primera (en un lenguaje distinto que ya hemos visto, cumplen el principio de no contradicción pero no el del tercero excluido).

Otras propiedades útiles sí se cumplen, como las leyes de De Morgan. Sin embargo, con una propiedad que parece tan inocua como la de idempotencia ocurren sorpresas. En un álgebra de Boole,

-La unión de un conjunto consigo mismo es él mismo.
-La intersección de un conjunto consigo mismo es él mismo.

Esto se llama "idempotencia". Inesperada y curiosamente, la unión o intersección consigo mismo de un Lukaconjunto siempre es un conjunto clásico. La unión de A y A es el soporte de A, y la intersección de A y A es el núcleo de A. En consecuencia, todos los Lukaconjuntos que no son conjuntos (es decir, que el soporte y el núcleo son distintos, o que tienen elementos en la frontera) incumplen la idempotencia.

En este punto, la gente se divide en dos grupos: los que les parece normal y los que les parece aberrante.

Por supuesto, si volvemos atrás al punto en que dijimos que "Indeterminado Y Indeterminado es Falso" y lo cambiamos por "Indeterminado Y Indeterminado es Indeterminado", obtendremos una lógica ternaria que es idempotente pero que no es la de Lukasiewicz sino que la utilizó Gödel un día en una demostración y por tanto, como el nombre de Gödel luce mucho, se ha quedado para siempre como "lógica multivaluada de Gödel".

(La estructura algebraica asociada a los Lukaconjuntos se llama "MV-algebra", MV por "multi-valued"; la que corresponde a los conceptos de interior, exterior y frontera es el "álgebra de Heyting" que corresponde a la lógica intuicionista, y que tiene un teorema similar al de Stone pero en lugar de álgebras de conjuntos la representación se hace con topologías*. Es decir, en la representación sólo aparecen los conjuntos abiertos, con lo cual la operación de complementación es tomar el exterior del conjunto y por eso también se cumple la no contradicción pero se incumple el tercero excluido ya que la intersección del interior y el exterior es el vacío, pero la unión del interior y el exterior no es el total, en general.)


*Aunque no válido para todas las álgebras de Heyting.

La lógica subyacente a las matemáticas (IV)

Primera parte.
Segunda parte.
Tercera parte.


La lógica de Lukasiewicz no agota su aplicación en esos "contingentes futuros". Otro tema que él tocó es el de la vaguedad, que es mucho más cercano al ámbito de la lógica difusa.

Una expresión es vaga cuando admite casos límite o frontera en los que ni la expresión ni su contraria resultan adecuadas. Por ejemplo, nos enseñan una imagen de un aparcamiento de 100 plazas, y nos preguntan sobre el número de coches. Concretamente, nos preguntan si son muchos.

Aquí, un primer problema es la ambigüedad del término "muchos". ¿Significa "muchos" para el que pregunta lo mismo que para el que responde? Para esquivar este problema, nos centramos sólo en lo que el sujeto del experimento, que somos nosotros, considera "muchos".

Si hay 80, probablemente dirá que sí, que son "muchos". Si hay 3, que no, no son "muchos". Si hay 23, ó 18, ó 41, quizá responda que "depende". Si nos referimos a muchos para ser medianoche en un área recreativa a la salida de la ciudad, diremos que sí, 18 son muchos y anuncian un fuerte incremento de la natalidad en el futuro cercano. Si nos referimos a muchos para ser mediodía junto a una playa un soleado domingo, diremos que no, que 18 no son muchos. Este segundo tipo de incertidumbre en el lenguaje es la dependencia del contexto, y tampoco es la vaguedad de la que estamos hablando.

Pero, aun fijando con precisión el contexto, lo más probable es que no podamos dar un número exacto de coches a partir del cual los coches que hay en el aparcamiento sean "muchos", y por debajo del cual sean "no muchos". Esto es: podemos hacerlo por definición, poniéndonos de acuerdo en usar la palabra "muchos" como sinónimo de "más de 43"; pero estaremos de acuerdo en que eso no resuelve la cuestión. Es exactamente como los intentos de acabar con el fracaso escolar cambiando la definición de "fracaso escolar" o de que baje el paro cambiando la definición de "paro".

Lo normal será que, salvo que medie una severa deformación profesional, uno piense que el que los coches sean 43 ó 44 no cambia el que sean muchos o no (véase la paradoja del montón) y que no tiene sentido empeñarse en que 44 son muchos pero 43 no son muchos. Por contra, habrá una zona frontera entre el ser muchos y el no ser muchos.

Con la lógica de Lukasiewicz, podemos usar el valor de verdad "Indeterminado" para esta situación. Por ejemplo,

"78 coches son muchos" es Verdadero
"12 coches son muchos" es Falso
"43 coches son muchos" es Indeterminado

Aquí, quien tenga alma de filósofo nos reprochará que nos opongamos a que el número de coches se clasifique en dos categorías para clasificarlo en tres, con lo cual -nos dirá- multiplicamos el problema por dos, ya que tendremos el mismo problema para distinguir si, por decir algo, "19 son muchos" es Indeterminado o Falso, o si "64 son muchos" es Indeterminado o Verdadero. Como no somos filósofos, no le haremos caso; si se enfada, diciendo que eso conduce a una regresión infinita, tampoco. Con ello demostraremos no pertenecer a esa casta especial retratada de forma tan simpática en la Enciclopedia; pero no nos van a negar la entrada en ningún bar por ello.

Ahora en serio, una de las cosas que históricamente se ha argumentado contra la lógica difusa es que nos permite coexistir con la vaguedad, cuando lo que hay que hacer con la vaguedad es eliminarla. Se suele invocar la traída y llevada cita de Kelvin: "A menudo digo que cuando puedes medir aquello de lo que hablas, y expresarlo con números, sabes algo sobre ello; pero, cuando no puedes expresarlo con números, tu conocimiento es de un tipo pobre e insatisfactorio." Según esta idea, deberíamos poner todo de nuestra parte para evitar palabras como "muchos" y utilizar en su lugar números precisos.

Nadie dice que esto no sea lógico y razonable, si no se llevan las cosas más allá de cierto punto. Un problema concreto tiene un grado natural de precisión y de poco o nada sirve violentarlo. Por ejemplo, yo sé que si alguien se atraganta y se le pone la cara verde, hay que practicarle la maniobra de Heimlich. No imagino en qué mejoraría mi capacidad de resolver ese problema si me dijeran la longitud de onda precisa en lugar de "verde". Esto, que en una conversación entre humanos es un absurdo, es de gran importancia cuando se trata de enseñar a una máquina a hacer algo que los humanos saben hacer, en este caso reconocer cuándo alguien tiene la cara verde. Los "greatest hits" de la metodología difusa, como el helicóptero que vuela y aterriza solo (y otros problemas de control no lineal como el metro que conduce solo), se han basado en traducir el conocimiento de un experto, expresado lingüísticamente, y codificarlo de forma que se pueda computar con él.

(Otras técnicas como, yo qué sé, algoritmos genéticos o redes neuronales, se basan en ideas radicalmente distintas y no en que el ordenador haga un conjunto de cálculos que representan razonamientos similares a los que podría hacer una persona.)

Al final, dado que somos capaces de realizar muchas tareas partiendo de percepciones inherentemente imprecisas (en lugar de mediciones precisas), parece que la idea es razonable. No sólo eso, sino que me parece totalmente compatible con la frase de Kelvin: al fin y al cabo, se trata de coger palabras del lenguaje natural y tratar de formalizarlas matemáticamente, aunque no sea precisamente con números. Como siempre he dicho cuando he dado una charla a un público que no conoce la cosa difusa, la diferencia es que uno puede decir "(pocos + muchos + muchos) / 3" y que esa operación tenga tanto sentido como (2+3+5)/3.

(Entonces miro a la gente y veo que
a) Unos ponen cara de pensar: "¡Qué curioso!"
b) Otros ponen cara de pensar: "¡Menuda majadería!"
c) La mayoría piensa: "¡Acabamos de empezar y ya tengo ganas de que acabe!")

La lógica subyacente a las matemáticas (III)

Primera parte.

Segunda parte.


Decíamos que, antes de volver a la lógica difusa y para entender lo que puede significar "una lógica" en lugar de "la lógica", echaríamos un ojo a la lógica de Lukasiewicz. En esta entrada respondemos las tres preguntas con que acabábamos: qué es una lógica multivaluada (o polivalente, o como se quiera decir), con qué propósito vino al mundo y cómo funciona exactamente.


Qué: es una lógica en la cual hay más de dos valores de verdad. En la lógica clásica, una proposición puede tener uno de los dos siguientes valores: verdadero o falso. Las cuestiones lógicas dependen exclusivamente del valor de verdad de las proposiciones y no de lo que signifiquen concretamente, lo que podemos escribir en forma de las famosas "tablas de verdad". Por ejemplo, si tenemos que P es verdadera y Q es verdadera, entonces la proposición "P y Q" que afirma tanto P como Q es verdadera, digan lo que digan P y Q. Así formaríamos la tabla

P Verdadero y Q Verdadero => "P y Q" Verdadero
P Verdadero y Q Falso => "P y Q" Falso
P Falso y Q Verdadero => "P y Q" Falso
P Falso y Q Falso => "P y Q" Falso

En una lógica multivaluada, sin embargo, una proposición puede ser verdadera, falsa o más cosas. Por tanto, una lógica multivaluada no puede ser clásica, aunque sí hay lógicas no clásicas que no son multivaluadas; por ejemplo, la lógica intuicionista.


Para qué: ¿Qué proposiciones podrían no ser ni verdaderas ni falsas? El trabajo de Lukasiewicz en 1910 se refiere al problema de los "contingentes futuros" en Aristóteles, pues ya este se había planteado si las proposiciones que afirman cosas sobre el futuro (contingentes, o sea que podrían ocurrir o no ocurrir) son verdaderas o falsas, o ninguna de las dos.

Según Lukasiewicz, "La humanidad se extinguirá el 18 de abril de 2450" no es ni verdadera ni falsa (no lo será hasta el 18 de abril de 2450 o el día que se extinga la humanidad, lo que ocurra primero, que probablemente será lo segundo), pero eso no nos impide razonar sobre ella si añadimos un nuevo valor de verdad, que podemos interpretar como "indeterminado".

Aquí podríamos debatir sobre si eso es así o bien es verdadera o falsa pero no sabemos cuál de las dos. A mi modo de ver eso sería estéril, ya que la estrategia de la lógica de reducir el análisis de las proposiciones al de sus valores de verdad parte de la suposición de que existe un conjunto de proposiciones iniciales del cual podemos asegurar con total certidumbre que son verdaderas, y que podemos utilizar para deducir posteriores proposiciones igualmente verdaderas (volvemos a los axiomas: todo está relacionado). En cuanto metemos en nuestros razonamientos premisas cuyo valor de verdad es desconocido, el que los razonamientos sean correctos no nos garantiza conclusiones verdaderas. Lo que ofrece Lukasiewicz es una forma de seguir razonando pero manteniendo una contabilidad precisa de qué conclusiones están contaminadas por la "indeterminación" y cuáles no.

Podría pensarse que esto no es útil porque la "indeterminación" se extenderá como un cáncer rápidamente haciendo que casi todas nuestras conclusiones sean indeterminadas. Para llegar al fondo de esto, debe quedar claro que el valor "indeterminado" de Lukasiewicz no se corresponde con la idea de "desconocido", como podría parecer.


Cómo: Veámoslo mostrando la tabla de verdad para "P y Q". Si P y Q son proposiciones "normales" de las que son verdaderas o falsas, entonces es la misma que pusimos antes. Pero si alguna de ellas es indeterminada, tenemos

P Verdadero y Q Indeterminado => "P y Q" Indeterminado
P Indeterminado y Q Verdadero => "P y Q" Indeterminado
P Indeterminado y Q Indeterminado => "P y Q" Falso
P Indeterminado y Q Falso => "P y Q" Falso
P Falso y Q Indeterminado => "P y Q" Falso

Que levante la mano el que no habría puesto
P Indeterminado y Q Indeterminado => "P y Q" Indeterminado.
Supongo que la razón de Lukasiewicz para no hacerlo es la siguiente. Tomemos

P = "La humanidad se extinguirá el 18 de abril de 2450"
Q = "La humanidad se extinguirá el 19 de abril de 2450".

Aunque cada una podría ser cierta por separado, no pueden serlo las dos a la vez y "P y Q" sería falsa. Por otra parte, podríamos tomar

P = "La humanidad se extinguirá el 18 de abril de 2450"
Q = "Mañana descarrilará un tren en Albacete",

en cuyo caso "P y Q" sería indeterminada.

Recordemos que la idea es obtener un cálculo lógico que sólo dependa de los valores de verdad de P y Q, por lo que tenemos dos opciones de esas que no se discriminan racionalmente sino que cada cual se queda con la que tiene más a mano.

La opción 1 es que Lukasiewicz intenta algo que no se puede hacer. Si el carácter de "P y Q" depende del significado de P y Q, y no sólo del carácter de P y el del Q, el programa que entiende que la validez de un razonamiento sólo involucra los valores de verdad (y no los significados) ya no puede funcionar.

La opción 2 es asignar un valor de verdad a "P y Q" y ver qué podemos hacer con él. Asignar el peor caso posible es una decisión razonable en que es conservadora: al considerar "P y Q" falsa ya no podremos usarla como punto de partida de nuevas deducciones, con lo que estamos seguros de no tomar afirmaciones falsas por indeterminadas (o verdaderas). Así se preserva la intención de fondo: las conclusiones etiquetadas verdaderas son verdaderas, las etiquetadas indeterminadas son indeterminadas y las etiquetadas falsas no son verdaderas, aunque no necesariamente son falsas. Es decir, podemos hacer casi todo lo que hacíamos con la lógica clásica (no todo) aunque tenemos que distinguir entre lo siempre que se consideró "ser" falso con recibir la "etiqueta" falso.

En el contexto clásico, si creemos en que las proposiciones de nuestra base inicial de conocimientos son realmente ciertas y que las leyes de la lógica son ciertas, todas aquellas proposiciones que "las inexorables leyes de la lógica" nos lleven a etiquetar como falsas serán realmente falsas y todas las que etiquetemos como verdaderas serán realmente verdaderas.

La cuestión es que el cálculo lógico de Lukasiewicz es una herramienta para etiquetar proposiciones. Podemos etiquetar más proposiciones que en el caso clásico, ya que tenemos de partida todas las que creamos verdaderas y todas las que consideremos indeterminadas. La diferencia es que ya no podemos creer "que las leyes de la lógica son ciertas", es decir, que hay unas tablas de la ley cuya obediencia convierte todas nuestras etiquetas en realidad; aunque sí hay unas tablas de la ley que convierten casi todo lo que dicen nuestras etiquetas en realidad.

En cualquier caso, la suposición de que las etiquetas reflejan la realidad se basa en la hipótesis de partida de que todos nuestros conocimientos iniciales son verdaderos. Nadie cree realmente que todos los conocimientos necesarios para justificar todas las proposiciones que cree verdaderas son a su vez verdaderos. Por lo menos, nadie que sepa lo que la palabra "sorpresa" significa.

Por lo cual, en el fondo el cálculo lógico clásico no deja de ser igualmente una herramienta de etiquetado.

La lógica subyacente a las matemáticas (II)

Primera parte.

He tenido escrita una larga continuación desde hace tiempo, pero me ha salido muy mal y he estado esperando a ver si se corregía por sí misma (lo que no ha hecho). Si sigo esperando va a llegar a la adolescencia y ya no tendrá remedio, así que vale más aceptarla como es y hacernos la consabida pregunta: ¿en qué nos hemos equivocado?

Moraleja: no escribir sin plan y sin un mínimo esquema previo.



Habíamos quedado en que los ingredientes fundamentales de lo que íbamos a contar eran los axiomas, los teoremas y los modelos. Y lo que íbamos a contar es que una pandilla de simpáticos checos han cargado sobre sus espaldas el programa de desarrollar una matemática basada en la lógica difusa.

Parece que tendremos que vérnoslas con eso de la lógica difusa. A eso va dedicada esta entrada (o iría, si me hubiera salido bien). Imaginemos que un robot conductor de taxis tiene programada la siguiente regla:
Si el semáforo está en rojo, parar.
Ahora imaginemos que el robot gira una esquina y, para su sorpresa y la nuestra, ve un semáforo en marrón. Si el robot obedece la lógica difusa, podría tomar la decisión de reducir su velocidad a la mitad.

Esta historia es un poco críptica y además no hay que tomársela en serio; pero me gusta mucho, porque ilustra gráficamente tanto la idea de razonamiento aproximado como los problemas semánticos que se pueden plantear en la aplicación de estos conceptos.

"Razonamiento aproximado" quiere decir que el robot ve el marrón como un color intermedio entre rojo y verde, por ejemplo porque recibe un 50% de luz en los sensores de color rojo y un 50% en los de verde. Entonces se dispara la acción consecuencia de la regla, pero sólo con una fuerza del 50%, con lo que la decisión tomada será reducir la velocidad a la mitad.

Si el robot obedeciera la lógica clásica, puesto que el antecedente sería falso (el semáforo no está en rojo) la acción de parar no se ejecutaría. Según lo que toda la vida ha sido el objeto de la lógica (estudiar las reglas del razonamiento válido), el razonamiento del robot es incorrecto, ya que hace cosas cuando no se cumplen las condiciones establecidas para que las haga. Pero esto nos aleja de nuestros propósitos, así que quizá volvamos a ello otro día.

En lugar eso, preguntémonos: ¿describe la lógica clásica las reglas del razonamiento válido, es decir, aquel con el cual de premisas verdaderas nunca llegaremos a conclusiones falsas? (aquí ya empieza la cosa a desviarse sin remedio) Bien, al oponer cosas verdaderas a cosas falsas estamos en realidad trayendo a colación aquel principio llamado del "tercero excluido" (o "tercio excluso" para quienes tengan unos años más), a saber, que una proposición es o verdadera o falsa, sin que quepa que no sea verdad ni mentira sino todo lo contrario. O el mayordomo es el asesino o no lo es, sin que sea posible que a la vez el mayordomo ni sea el asesino ni no lo sea. En el ejemplo anterior, o se cumplen las condiciones establecidas o no se cumplen.

Habrán notado que nuestro propio lenguaje está construido de forma que decir "El mayordomo no no-es el asesino" no es posible, por lo que hace falta coger algo de práctica para no dejarse pillar en la trampa lingüística.

En cualquier caso, la cuestión ahora es: Si la lógica pretende garantizar que a premisas ciertas siempre les sigan conclusiones ciertas, ¿es posible que haya varias lógicas distintas? Si una nos dice una cosa y otra otra, ¿cómo van a ser ambas "correctas"? ¿No será que sólo hay una lógica "verdadera"?

La mejor forma de enfocar esto es darle la vuelta al calcetín: todos nosotros suscribimos la "lógica clásica", que da forma incluso a la estructura de nuestro lenguaje; por tanto, preguntémonos cuál es el ambito de esa lógica, es decir, en qué situaciones se corresponde con la realidad. ¿Es universal o hay situaciones a las que no se adapta?

(Como pista, dejaremos caer que la inferencia "Hoy está lloviendo, luego es posible que hoy esté lloviendo" es inválida en la lógica clásica.)

Hay muchas personas que creen que el ámbito de la lógica clásica es universal. En la mayor parte de los casos, es porque nunca se han hecho la pregunta. Por ejemplo, Dennis Lindley (un señor del que hay un premio con su nombre) habla de "reglas cuya violación parecería ridícula" que "nos son dictadas por las inexorables leyes de la lógica".

Para ver situaciones en las que las inexorables leyes de la lógica no son inexorables, vamos a fijarnos en Jan Lukasiewicz. Este fue un lógico polaco (que con Lesniewski fundó la escuela polaca de lógica matemática cuyo máximo exponente fue Tarski, y por cuyas manos pasaron otros matemáticos famosos como Banach) que parece ser que inventó la primera lógica multivaluada. Las preguntas que se nos plantean son qué (es una lógica multivaluada), para qué (la inventó) y cómo (funciona). Eso, en la tercera parte.

Conocidos conocidos (I)

Resulta que Leticia Sánchez Ruiz ha ganado el premio Emilio Alarcos de novela. Emilio Alarcos es uno que se empeñó en que el artículo no es una categoría gramatical (aquella lista de “artículo, nombre, pronombre,...”) sino un morfema del nombre. Leticia, por su parte, es de mi pueblo, algo mucho más interesante.

Como sugiere su nombre, Leticia era la nieta de Ruiz. Este había tenido que salir de Cuba cuando la fiesta aquella que organizó Fidel; supongo que podría haberse quedado a trabajar por la revolución pero, claro, quién tiene ganas de trabajar por una revolución que acaba de nacionalizar tus empresas. Mi padre vivió la llegada de Ruiz al pueblo y yo oí hablar de ella siendo niño; aunque no recuerdo los detalles, en mi imaginación ha quedado como una versión inversa de los desfiles de los astronautas en la Gran Manzana: en lugar del confeti lanzado desde de los rascacielos, eran ellos los que tiraban billetes a la gente.

Que sí, que ya sé que no debió de ocurrir exactamente así.

Mi relación con los Ruiz se limita a haber ayudado a mi familia a cogerles (“pañar”) la manzana en alguna ocasión. Con quién sí tuve relación fue con los otros abuelos de Leticia, que vivían muy cerca de mi familia y tenían un 124 blanco y un desván con cajas llenas de tebeos. Mi hermana era muy amiga de Leticia entonces aunque, siendo algo menor en edad, habría de descubrir un día, indistinto de cualquier otro, que su amiga había entrado en la adolescencia y había encontrado cosas mejores que hacer que jugar con ella. Como no se puede decir que luego mi hermana no le hiciera lo mismo a la vecina del 2ºA, supongo que debe de ser una constante universal en la vida de las niñas.

La última vez que entré en esa casa, y casi que la última o penúltima que la vi a ella, fue en un cumpleaños suyo hace aproximadamente la mitad de mi vida. Recuerdo que quisieron hacerme comer tortilla (seguro que con buena intención); insistieron mucho; y eso, que no volví más.

Ella se fue a estudiar algo a Salamanca, creo, y hace poco sus padres rehabilitaron una casa en el pueblo; un relato poco completo de los últimos diez años, lo admito, pero es el que tengo.

Ayer salió -me dijo mi madre, que piensa comprarse el libro inmediatamente- en la televisión autonómica. Hoy me he enterado del premio (mi madre está un poco sorda y sólo sacó en claro que había escrito un libro) leyendo el periódico mientras esperaba para que me cortaran el pelo. Sale en una foto con la viuda de Alarcos y se explica que su abuelo fue presidente del Centro Asturiano, o algo así, y que la novela es sobre una ciudad (Oviedo, que no se llama Oviedo pero tampoco Vetusta) donde se quema la biblioteca y sólo queda un libro.

Apunte: no deja de ser curiosa la moda de resaltar la dimensión simbólica del libro, en esta época en que es, de hecho, un producto de consumo como cualquier otro (esto me recuerda aquel libro de bolsillo según cuya contraportada el autor criticaba todas las cosas malas de la decadente cultura contemporánea... por ejemplo, los libros de bolsillo). Para unos, puede ser una reivindicación de algo cuya esencia se está perdiendo. Para otros, acorde con la posmodernez de ver el libro como objeto esencialmente incompleto, cuyo sentido hay que buscar fuera de él.

Al final

hemos tenido cosas más interesantes que hacer que proseguir el proyecto de contactar con Amy MacDonald. Una pena, porque parecía una aventura divertida y quijotesca.