Pasatiempo

Ayer venía en el AVE y me aburría, así que me puse a pensar en un viejo problema que dice algo parecido a esto: En un barco viajan quince negros (o subsaharianos, vamos) y quince blancos, y por alguna razón hay que echar quince personas al mar. El capitán prefiere arrojar a los tiburones a los quince negros pero también quiere mantener la apariencia de que los desafortunados se han elegido al azar. Así que va a poner a las treinta personas en fila y contar de nueve en nueve, echando al agua a los quince primeros seleccionados por este procedimiento. ¿En qué posiciones tiene que colocar el capitán a los subsaharianos para asegurarse su siniestro objetivo?

Este es un ejemplo de problema sin ningún interés. Primero, la forma de resolverlo es obvia: dibujar 30 palotes e ir contando nueve y tachando hasta tener quince eliminados; esas son las posiciones de los subsaharianos. Y además, porque el que sean 30 personas, se vaya de 9 en 9 y se tiren 15 al agua, no tiene ninguna importancia: lo mismo podrían haber sido 45 y haber tirado a 28, seleccionados de 19 en 19.

Así que me hice otra pregunta más interesante, que es en qué posición tendría que ponerse el capitán para salvarse si hubiera que sacrificar a todos menos uno. Esto también puede resolverse por la cuenta de la vieja, aunque se tarda un rato más largo.

Aquí es donde entra la afición del matemático a buscar las pautas de las cosas. En esta ocasión, la pauta no es nada difícil de encontrar examinando casos pequeños. Por ejemplo, la persona que se salva si saltamos de 7 en 7 (y puedo prometer que no he hecho por la cuenta de la vieja ninguno de ellos) es:

1:1 (o sea, si hay 1 persona se salva la que ocupa la posición 1)
2:2
3:3
4:2
5:4
6:5
7:5
8:4
9:2
10:9
11:5
12:12
13:6
14:13
15:5
16:12
17:2
18:9
19:16
20:3
21:10
22:17
23:1
24:8
25:15
26:22
27:2 (no me digan que han llegado aquí y aún no la saben)
28:9
29:16
30:23
31:30
32:5
...

Estuve otro rato buscando una fórmula general (no la fórmula por recurrencia que yo tengo y espero que ustedes también) pero no me salió nada.