Ramanujan y el 1729

Ramanujan era el oficinista de Madrás que envió al matemático inglés G. H. Hardy una serie de fórmulas matemáticas, presuntamente válidas, escritas en papel de estraza o casi, y luego pasó lo que pasó. Fórmulas como la siguiente, que he sacado de aquí:



A pesar de que mi conocimiento de las fracciones continuas sea nulo, me es imposible no coincidir con el juicio de Hardy de que "Tenían que ser ciertas, porque, si no lo fueran, nadie habría tenido suficiente imaginación para inventarlas". O, dicho de otra forma, ningún impostor habría tenido el atrevimiento suficiente para presentar una fórmula que manifiesta relaciones tan sorprendentes y poco inmediatas a la intuición, y a la vez con una estructura interna de semejante atractivo estético, complejidad entretejida en la concisión y promesa de profundidad. Y eso, una entre decenas (luego, intentarán conmovernos con la poesía postpoética y su "estética científica").

(Ignoro si ésta precisamente está entre las que ya eran conocidas entonces, entre las que eran "fáciles" de probar con las herramientas de la época o entre las otras, pues como he dicho estas cuestiones caen totalmente fuera de mi competencia, pero a simple vista sospecho que es de "las otras")

La célebre anécdota del 1729 es como sigue: Ramanujan estaba enfermo y Hardy fue a visitarle. Para romper el hielo, Hardy le dijo que había venido en un taxi cuyo número de matrícula era el 1729, mira tú qué número más insulso. Ramanujan le replicó inmediatamente: "No digas eso, Hardy: ¡es el menor número que puede expresarse como suma de dos cubos de dos formas distintas!"

Siempre me ha parecido que la historia queda muy pirotécnica (al estilo "Querido Watson, cuando hemos eliminado lo imposible...") pero no ilustra con claridad la distancia entre Ramanujan y un "ser humano normal". Por ello contaré "mi" historia del 1729, porque quedará claro qué distancia -aun en una cuestión trivial, obviamente la distancia aumenta con la profundidad del tema- hay entre mí y Ramanujan, y a la vez será más fácil para el lector curioso no matemático valorar qué distancia hay entre él y yo, no en tanto que yo mismo sino como persona que ha recibido cinco o más horas diarias de clase de Matemáticas durante cuatro años, etc.

(Para esto hay que tener en cuenta que la dedicación de los matemáticos NO es hacer cuentas con la calculadora, ni dibujar polígonos de muchos lados con la regla y el compás)

El 15 de septiembre del 98 pagué los derechos del título y me volví a casa con mi resguardo. Del apeadero del tren a casa de mis padres hay ocho minutos de paseo. Iba yo pensando, naturalmente, que ya no volvería a hacer exámenes en mi vida, cuando me dije: "Ahora soy matemático, y ahora que soy matemático, voy a pensar sobre el 1729 a ver si saco algo". Dividiendo el problema en trozos y dispuesto a concederme más tiempo del que había necesitado Ramanujan, me dije:

1. "Vamos a ver, lo primero es: ¿puedo ver si 1729 es suma de dos cubos? Sí, eso es bastante obvio porque es 1000+729. 1000 es 10 al cubo y 729 es 9 al cubo. Bueno, he tenido suerte: si no llega a ser por el 1000, vete a saber cómo detecto yo que realmente era suma de dos cubos. Claro que la misma suerte la habría tenido cualquier otro, Ramanujan incluido."

2. "Lo que es imposible es que encuentre la otra descomposición en dos cubos, ya he tenido suerte una vez... la única forma posible sería, yendo totalmente de farol, que uno de los cubos fuera precisamente 1, es decir 1 al cubo, así que tendría que ser 1+1728. Vale. Ahora, ¿1728 será un cubo? Ni idea. Calcular la raíz cúbica de 1728 es trampa, claro, ¿cómo veo yo a simple vista si es un cubo o no? Primero, 1728 acaba en 8, así que si es un cubo tiene que ser el de un número que acabe en 2. Segundo, como 1728 está entre 1000 y 2000, su raíz cúbica tiene que estar entre 10 y más o menos 14. Así que 1728 sólo podría ser el cubo de 12. Pero, ¿cuánto es el cubo de 12? ¿Es trampa calcular 12 al cubo? No, porque sé que el cuadrado de 12 es 144, así que 144x12 sólo involucra multiplicar por dos y sumar: veo a simple vista que 144x12 es 1440+288, así que es legítimo. Y 1440+288 es, claro, 1728. ¡Hala, otra vez suerte!"

3. "Ahora queda sólo lo más difícil: que 1729 es el menor número que cumple esa doble descomposición. Como es ridículo pensar que Ramanujan se dedicase en sus ratos libres a descomponer números en sumas de cubos, porque el frikismo tiene un límite, eso es que él veía alguna razón por la que era imposible que alguno de los 1728 números anteriores lo cumpliera."

Pensé hasta llegar a casa, pero no sólo no se me ocurrió ninguna razón, sino que ni siquiera pude imaginar qué tipo de razón podría ser. (También es posible, claro, que en algún momento Ramanujan hubiera construido una tabla ordenada de sumas de cubos y hubiese observado y recordado que 1729 era la primera que se repetía. En un triángulo de 15x15, por ejemplo, 1729 aparecería en las casillas 12 y 94; en ese triángulo, al ser 9 y 10 consecutivos está claro por construcción que no se necesita continuar calculando para estar seguro que no hay ninguna otra combinación repetida menor. Pero, aun cuando esto fuera así y Ramanujan hubiera tenido la suerte de que saliera a conversación justo el 1729, yo me declaro incapaz de mantener recuerdos coherentes sobre una tabla de números de ese tamaño)

Así que hasta ahí pude llegar. En resumen, contando con dos golpes de suerte pude hacer la parte "fácil" de la existencia. En la parte "difícil" de la unicidad (o sea, que de los 1729 primeros números, 1729 es el único con esa propiedad y los 1728 primeros no la tienen), no pude penetrar ni un milímetro.

Y él contestó así, sobre la marcha.

El que es la leche, es la leche.

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Aviso: Sigue "rollo matemático chungo".

Hoy he estado pensando otro ratito (ocho años de matemático practicante después). Lo primero de lo que me he dado cuenta es que si un número se expresa como suma de dos cubos pares, es múltiplo de 8 y por tanto la otra descomposición también tiene que ser como suma de dos cubos pares (esto es intuitivamente plausible pero comprobarlo requiere alguna cuenta). En consecuencia, en esa situación podemos simplificar términos mientras podamos y llegar a un número inferior que cumple también la doble descomposición pero en el que necesariamente al menos uno de los números de cada par es impar (como para el 1729: 1 y 12, 9 y 10) y la suma, salvo error en las cuentas, sólo puede ser "múltiplo de 4 más 1" ó "múltiplo de 4 más 2". Esto elimina la mitad de los posibles valores, es decir, 864. Siguen quedando otros tantos, y eso que he hecho trampa.

Ni siquiera soy capaz de probar, mentalmente, cosas más humildes como que 1729 es el primer número siguiente a un cubo que se expresa como suma de dos cubos consecutivos (es decir, el caso en el que en un par aparece el 1 y en el otro dos números consecutivos). Esto puede hacerse, claro, por la fuerza bruta calculando todas las posibilidades (11 y 8, respectivamente) y viendo que no coinciden... pero, ¿qué gracia tendría eso?
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