121, el número de la bestia

De pequeño me tocó la moda de que había que enseñar a los niños las matemáticas de modo abstracto. Probablemente en algún país del primer mundo la habían abandonado y por eso la acogimos nosotros como estamos haciendo ahora con los créditos para universitarios, un auténtico problema social en países como el Reino Unido que no hemos podido evitar abrazar.

A los cinco-seis años nos enseñaron los diagramas de Venn para representar conjuntos, los conceptos de frontera, conjunto abierto y cerrado, la unión y la intersección, etc.

A los ocho aprendimos que la multiplicación era un operador, una especie de máquina en la que entraban dos números y salía uno.

A los once nos explicaban que la suma de números naturales era un semigrupo conmutativo con elemento neutro.

A los doce nos definieron los números enteros como cociente del conjunto de pares de naturales. En el examen nos preguntaban que demostráramos la propiedad conmutativa de los enteros, por ejemplo. Aquello antiguo de que los enteros eran los números naturales pero con signo no estaba de moda.

A mí todo esto me gustaba, como se puede suponer. Me decía: ya sabía yo que esa milonga de números con signo era demasiado tonta para ser cierta.

El caso es que a los ocho años aprendimos el sistema binario. "Alí tiene 101 peces", y se veía un dibujo de Alí con una cesta en la que había 5 peces. Esto mi profesora, que era artista y de letras puras y nos estaba dando clase porque el marido de su prima estaba enfermo, y de hecho esta dejó la docencia reglada por eso, no lo veía de ninguna manera. Como para que lo vieran los padres de los niños.

Con los distintos sistemas numéricos se puede explicar, creo yo, por qué ese tipo de enseñanza fracasa.

Verán, resulta que el número 121 tiene una propiedad muy curiosa. Hablando con corrección, no es el número 121 sino los números que en las distintas bases de numeración se representan con los símbolos "121". Podemos hacernos una idea viendo cuáles son:

"121" en base 3 es 16
"121" en base 4 es 25
"121" en base 5 es 36
"121" en base 6 es 49
"121" en base 7 es 64
"121" en base 8 es 81

Espero que todo el mundo imagine ya qué número representa "121" en base 9. El código "121" lleva escrito en la cara que tiene esa propiedad, y también lo sabemos desde pequeños, pues aprendimos la fórmula de "el cuadrado de una suma":

(x+y)² = x²+ 2·x·y + y²

(el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo).

"121" en base 10 significa 121, es decir, una unidad, dos decenas (bloques de 10) y una centena (un bloque de 10 bloques). En otra base n, significa una unidad (1), dos bloques de n (2n) y un bloque de n bloques (n²). Esto sería

1+2·n+n²

pero, según la fórmula anterior, eso es

1²+ 2·1·n +n² = (1+n)².

Por ello

"121" en base 3 es 4²
"121" en base 4 es 5²
"121" en base 5 es 6²,

etcétera. Así que el número 121 está diciendo a gritos que es un cuadrado perfecto. Nosotros no le oímos simplemente porque al leer 121 lo hacemos con la parte del cerebro que identifica 121 con el nombre de un ente individual y no con la de descodificar el significado del código "121".

Por la misma razón, si las matemáticas abstractas fueran algo natural para el cerebro humano, en cuanto viéramos el número 1331, no podríamos evitar detectar sin hacer ninguna operación que representa un cubo en todos los sistemas de numeración, ya que una vez aprendimos que

(x+y)³ = x³+ 3·x²·y + 3·x·y² +y³

o, escrito de otra forma,

(x+y)³ = 1·x³+ 3·x²·y + 3·x·y² +1·y³

(fórmula del "cubo de una suma").

Aún digo más. Si las matemáticas abstractas fueran naturales, no nos sorprendería en absoluto que la codificación "121" pueda corresponder a un cuadrado sea cual sea la base, ya que tenemos que 121 es 11 por 11, y por la misma razón "121" es "11" por "11" sea cual sea la base de numeración que estemos considerando.
Porque ahí arriba no pone que once por once son ciento veintiuno, sino que una unidad y un bloque, multiplicado por una unidad y un bloque, da una unidad, dos bloques y un bloque de bloques. Pero, si las matemáticas abstractas fueran naturales, en algún momento ocioso de nuestra vida nos habríamos dado cuenta de eso.