1/20 (III)

Como quedó un poco cortada la cosa y ya nadie se acuerda por dónde iba, puedo empezar por donde quiera, que va a ser saltándome algún capítulo para contar de qué va mi trabajo. Cuando esté algo menos liado, ya rellenaré los huecos que han quedado.

El título es "Sobre la convergencia en necesidad y sus leyes de los grandes números". Para entender el título -que es como ponerse a ver un culebrón en el capítulo 188- necesitaremos un par de entradas.

Habíamos hablado de "repeticiones" de la misma experiencia que dan resultados distintos (ejemplo de todos los libros: lanzar un dado). Nosotros estamos interesados en algún valor asociado con el experimento, pongamos que el número que sale. Si lanzamos el dado muchas veces, nos irá saliendo una sucesión: 2, 5, 3, 1, 1,... Para tratar de sacar conclusiones sobre este fenómeno, lo que haremos será elaborar un modelo matemático: esto es, se trata de encontrar unos objetos matemáticos y relaciones entre ellos que reproduzcan algunos aspectos del problema.

En este caso, el aspecto principal del problema es que nos salen valores distintos (como vamos a ver, no se trata de contestar por qué ni cómo) pero el mecanismo del experimento es siempre el mismo. ¿Qué tipo de objeto matemático puede conjugar estas dos caras aparentemente contradictorias? Tenemos el concepto de función, ya que la función es una pero puede tomar diferentes valores.

Una función (aquello de los círculos y las flechas) tiene los siguientes ingredientes:
-dos conjuntos
-una relación entre ellos, según la cual a cada elemento del primer conjunto le corresponde otro elemento del segundo.

En este caso, la "traducción" entre la realidad y el modelo es como sigue:
-La función es el experimento.
-El conjunto final es el conjunto de posibles valores del lanzamiento del dado.

Muchos aspectos de la realidad no aparecen por ninguna parte en el modelo (por ejemplo, el dado: ninguno de los objetos que han aparecido representan al dado, ni al mecanismo para lanzarlo, etc.)

Desgraciadamente, algo que se entiende menos a menudo es que el modelo también tiene aspectos que no aparecen por ninguna parte en la realidad: en este caso, el conjunto inicial. Según la traducción, el experimento toma un elemento del conjunto inicial y lo "convierte" en el valor 1...6 que nosotros observamos al lanzar el dado. Valores observados distintos corresponden a elementos distintos (valores iguales también pueden corresponder a elementos distintos).

Esto no es una explicación de la realidad ni postula la existencia de unas entidades inobservables cuyo estado determina el resultado del experimento. Simplemente, el modelo es así: una función relaciona dos conjuntos.

¿Qué significado tiene el conjunto inicial?, oigo preguntar a algún físico. Aquí me gustaría distinguir entre representación e interpretación (y pensar que yo había empezado hablando de otra cosa...) en el modelo.

[Estamos diciendo que X representa el experimento, X(r) representa el valor obtenido en el lanzamiento... y r (normalmente llamado "resultado") no representa nada, aunque puede dársele una interpretación si uno lo desea. Esta interpretación puede ser cualquiera, siempre y cuando sea coherente con el papel de r en el modelo: es decir, que r determina completamente el valor X(r). Normalmente, se suele pensar que un resultado es: (a) un individuo concreto de una población bien definida que se está estudiando (en este caso, los lanzamientos de dado no son individuos de una población como sí lo son los alumnos de un colegio), (b) el estado de todos los factores y variables sin controlar que afectan al resultado del experimento (esta interpretación sí que tiene una cierta ideología determinista detrás), (c) una en un conjunto hipotético de posibles repeticiones del experimento, (d) uno en un conjunto de "mundos posibles" (en cada mundo el resultado del lanzamiento podría ser distinto y nosotros no sabemos en cuál estamos), etc.

Estas interpretaciones añaden poder explicativo al modelo pero le restan poder prescriptivo ya que sí hacen afirmaciones sobre cómo funciona la realidad; esas "explicaciones mejoradas" sólo tendrán fundamento si la realidad cumple los presupuestos en los que se basan.]

Dicho todo esto, en el modelo los X(r) (o sea: los 2, 5, 3, 1, 1,...) pueden ser distintos porque corresponden a r distintos. Tendríamos:
X(r1) = 2
X(r2) = 5
X(r3) = 3
X(r4) = 1
X(r5) = 1
...

La función X se llama variable aleatoria. Hay que notar que, debido a lo que hemos explicado, el conjunto de resultados tiene muy poca importancia en la Probabilidad, mientras que el conjunto de valores es lo esencial. Para casi todas las cuestiones relevantes para la Teoría de la Probabilidad, cuál sea ese espacio es irrelevante (yo mismo he escrito artículos enteros en los que no se menciona ese conjunto o sus elementos, ni una sola vez). Me cuesta imaginar un artículo de Análisis Matemático que estudie unas funciones sin decir (y sin que importe) de qué espacio salen. Esto lo digo acordándome de mi profesor de Análisis I, según el que la Probabilidad es "un caso particular de la Teoría de la Medida" (una rama del Análisis).

Hemos escrito arriba X(r1),X(r2),X(r3),... para modelar una sucesión de repeticiones del experimento y los valores obtenidos. Esto, claro, no se parece a lo que contamos a los alumnos: las variables aleatorias independientes y con la misma distribución X1, X2, X3,.... Aquí es donde "engañamos" a los alumnos, ya que les decimos que unas variables aleatorias X1, X2, etc., representan el valor obtenido en las sucesivas repeticiones del experimento. Lo cual, dicho así, sin más, no sé si es una media verdad, una mentira, una estadística o qué.

Si las X1, X2, X3,... son funciones diferentes, los valores obtenidos serán X1(r), X2(r), X3(r),... Las preguntas se multiplican: (1) ¿Para qué necesitamos varios r si las X ya son distintas? (2) Si r es algo que determina completamente el valor obtenido, ¿por qué al repetir el experimento aparece el mismo r?

Aquí dejo la cuestión, por si alguno se ha quedado sorprendido y quiere pensar al respecto.