Todo número par puede descomponerse en la suma de dos números primos
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¿Todo el mundo lo ha conseguido? ¡Enhorabuena!
¿No? Bueno, vamos a proponer un enunciado que usa palabras parecidas pero parece inverso del anterior:
Ningún número primo puede descomponerse en una suma de números impares consecutivos.O, lo que es lo mismo,
La suma de varios impares consecutivos nunca es un número primo.(Nota: el que quiera probar, que lo haga ahora y no siga leyendo. "Impares consecutivos" quiere decir como 15, 17, 19, 21,... El 25 y el 29 no son impares consecutivos porque tienen en medio el 27. "Primo" quiere decir que sólo es divisible por sí mismo y por 1.)
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Me parece un ejemplo muy bueno para tratar la cuestión: es un problema muy asequible, tiene su pequeña idea feliz y cubre un número infinito de casos, así que no es resoluble haciendo un programa de ordenador que examine todos los casos uno por uno. Además, realmente es como un teorema serio en que conecta cosas que a simple vista no tienen relación entre sí: hay impares que no son primos y hay impares, incluso consecutivos, que sí son primos; ser primo tiene que ver con la multiplicación, pero tanto sumar impares como los impares consecutivos no tienen que ver con la multiplicación sino con la suma. En resumidas cuentas, ahí hay un misterio que, parafraseando a Hardy, sólo difiere en grado de las creaciones de los grandes matemáticos. Difiere en "mucho grado", pero sólo en grado.
Da pie a discutir "qué es demostrar", "cómo se puede demostrar concluyentemente algo si hay infinitos casos y no podemos comprobarlos todos", etc., ensayar muchas técnicas básicas como jugar con casos concretos, buscar patrones, intentar reformular el problema (cosa que ya hemos hecho arriba).
Una vez resuelto por nuestra víctima, si su entrenamiento lo permite podemos formalizar el problema como
(2n+1)+ ... + (2n+2k+1)para, sacándonos de la manga que
1+ ... + (2k+1) = k2,echar cuentas y ver que sale k(2n+k). Primero se dará cuenta de que la formalización "con letras" y las operaciones "con letras" son una herramienta muy poderosa, ya que en dos patadas se resuelve lo que le ha tenido razonando un rato, distinguiendo casos... Luego le diremos que además hemos demostrado más que antes, ya que hemos visto que la suma de impares consecutivos siempre resulta ser un múltiplo del número de impares que hayamos sumado; este resultado es más profundo porque va a la clave de la cuestión, la suma de 238159 impares consecutivos no puede ser un número primo porque es múltiplo de 238159.
Nos preguntará que de dónde sale esa fórmula que sacamos de la manga, con lo cual verá que en las matemáticas un problema suele llevar a otro: ¿por qué la suma 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7 es siempre un cuadrado? (lo cual tiene una interpretación "física" que le convencerá de que reformular en un lenguaje distinto es una gran idea: el lenguaje algebraico, que convertía en rutina su problema, sin embargo convierte en problema esta segunda cuestión que visualmente es obvia).
Y más jugo que se le puede sacar.
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En fin, en cualquier caso, quien no tenga entrenamiento puede intentar demostrarlo por sí mismo y, robando otra frase de Pólya, "sentir la tensión y gozar del triunfo del descubrimiento".
6 comentarios:
Bueno, eso de decir que cualquiera lo puede hacer...
Creo que esta usted suponiendo que los demas tenemos sus mismas capacidades.
Gracias por el mensaje, creo que tienes razón en la primera frase. Después de contarle el problema de palabra a Bliss (filóloga y fotógrafa) y ver la cara que ponía, efectivamente me parece que no se justifica ese optimismo. Pero no tanto por falta de capacidad sino de entrenamiento.
En este caso, la primera idea que a uno se le puede ocurrir es que al sumar dos números impares siempre le va a salir un número par, que por tanto no es primo.
Entonces puede pasar al caso de sumar tres impares, mi consejo es hacer varias pruebas con números pequeños hasta tener la "idea feliz". Por ejemplo:
1+3+5 = 9
3+5+7 = 15
5+7+9 = 21
7+9+11 = 27
¿Ves algo que sea común a todos estos casos? Lo primero, que los números de la derecha no son primos, como bien predecía el enunciado (si uno no tiene práctica con los primos, a lo mejor no lo ve a simple vista). Una vez eso esté claro, ¿tienen algo más en común? Podemos añadir más ejemplos,
9+11+13 = 33
¿Tienen algo en común el 9, el 15, el 21, el 27 y el 33? Bueno, son impares, así que el truco de antes no nos vale. Si no sabemos qué hacer, tratemos de sacar ideas de donde sea, por ejemplo decir lo que hemos averiguado con otras palabras.
Sabemos que:
-No son primos.
-Son impares.
¿Qué es ser impar? Impar quiere decir que no se puede dividir en parejas, que no es divisible por dos. Primo quiere decir que sólo es divisible por sí mismo y por 1. Lo único que sacamos en claro es que se repite la idea de ser divisible.
Ahora volvemos a los números: 9, 15, 21, 27, 33. Como no se nos ocurra algo mirándolos y pensando en la idea de ser divisible... Aquí vuelve a rondarnos la idea que necesitamos, pero reconocerla es cuestión de entrenamiento, a lo mejor ya viste hace rato a dónde vamos a llegar o a lo mejor no, en todo caso lo que tienen en común es que son todos divisibles por 3: 9=3x3, 15=3x5, 21=3x7, etc.
¿Qué podemos hacer con eso? Quizá no sabemos bien de qué puede servirnos, en ese caso volvemos a la casilla de salida:
1+3+5 = 3x3
3+5+7 = 3x5
5+7+9 = 3x7
7+9+11= 3x9
Aquí, antes o después nos daremos cuenta de esto:
1+3+5 = 3x3
3+5+7 = 3x5
5+7+9 = 3x7
7+9+11= 3x9
Y luego de esto:
1+3+5 = 3+3+3
3+5+7 = 5+5+5
5+7+9 = 7+7+7
7+9+11= 9+9+9
Al llegar a este punto, uno ya está maduro para entender qué es lo que está ocurriendo.
Pensándolo bien, tienes razón, no es fácil perseverar tanto. Es como si a mí me dijeran que hiciera 200 abdominales. Aunque físicamente sea capaz de hacerlo (supongo) si hago un buen esfuerzo, al de 30 ya estaría deseando dejarlo y olvidarme del tema.
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En lo que no te doy la razón es en lo de la capacidad, yo no tengo una capacidad especial más allá de la que tenga cualquier profesional de cualquier ramo. Todo el mundo ve a simple vista muchas cosas de su trabajo.
Ja, ja...bueno (soy el del anterior comentario) suelo seguir tu blog y, si mal no recuerdo, una vez comentaste que de niño eras un "calculín". Otros teníamos la cabeza más dura.
Además, pienso que la gente se suele dedicar a lo que se le da mejor.
Un saludo.
Vicente
Hombre, sí, negar lo de calculín no estaría bien. En mi caso, es probable que me esté dedicando a lo que se me da mejor.
yo también creo que es más el entrenamiento, que la capacidad. Por ejemplo, yo no pude evitar la cadena:
-suma de nros impares consecutivos
-sumo y resto los primeros impares consec.
-me queda una diferencia de cuadrados
-eso se factoriza
pero sólo leyendo tu comentario caí en otra versión::
-escribo los k números como el menor (n) más un resto (que es par)
-a los restos les saco un 2 de factor común
-tengo n.k + 2.k (k+1)/2
JP, es que a mí se me ocurrió a partir de ese mismo razonamiento (el primero), mientras hacía las tareas del hogar. No sé por qué pensé que el factor pequeño en la factorización podía ser 1 (que no es así porque entonces sería la suma de un solo impar) y por eso me entretuve pensando un enfoque directo.
La segunda forma que dices sí que es simpática, aunque también interviene el entrenamiento al usar que 1+2+...+k = k(k+1)/2.
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