Los números primos

A menudo, en los libros de divulgación se trata de justificar la importancia de los números primos diciendo algo así como que son los ladrillos de los que están compuestos todos los otros números (que se llaman, de hecho, números compuestos). A mí esta justificación nunca me ha convencido, pues no todo lo que sea un ladrillo de otra cosa tiene por ello un interés especial. Por ejemplo, un estudio exhaustivo de cada tecla posiblemente no es la mejor manera de entender un teclado.

Pero, al mismo tiempo, es muy difícil comunicar qué tienen los números primos para que haya habido durante milenios gente dedicada a estudiarlos. En esta entrada vamos a hacer un intento modesto.

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Hay muchas familias de números, claro, aparte de los primos. Quitando los pares y los impares, probablemente la más famosa es la de los cuadrados, formados al multiplicar un número por sí mismo (claro). Un número cuadrado, lógicamente, no puede ser primo (excepto el 1).

Otra familia es la de los números factoriales. Los factoriales son 1, 1·2=2, 1·2·3=6, 1·2·3·4=24, 1·2·3·4·5=120, etc. Un número primo como el 7 solo puede factorizarse como 1·7, mientras que el factorial correspondiente es 1·2·3·4·5·6·7. Como se ve, son un poco lo opuesto de los primos; si imaginásemos los primos como números avaros, los factoriales serían el colmo del derroche pues van acaparando todos los factores posibles. También está claro que un número factorial no puede ser primo, de nuevo con la excepción del 1.

Imaginemos que somos personas ociosas a las que les gustan los números. Posiblemente, ahora nos diríamos: "¡Hum! Quitando el 1, un factorial no puede ser primo, y un cuadrado tampoco puede ser primo, pero... ¿puede un factorial ser un cuadrado, o no?".

Y la respuesta es: No, porque hay infinitos números primos.

¿Cómo puede ser esto? ¿Qué tiene que ver si hay muchos o pocos primos con que haya o no números comunes en familias de números que no son primos?

Supongamos que tenemos un número (distinto del 1) que es a la vez factorial y cuadrado. Vamos a tantear a ver si averiguamos qué número podría ser, y eso nos llevará a que ese número no puede existir.

Por ser factorial, sabemos que como poco es 2=1·2. Pero 2 no es un cuadrado; para poder ponerlo como producto de un número por sí mismo, necesitaríamos como poco otro 2. Al ser un factorial, como poco tendríamos que llegar al 4: 1·2·3·4.

Esto no ha resuelto el problema, porque 24 sigue sin ser cuadrado. Peor aún, entre el 2 y el 4 nos ha aparecido otro número primo, el 3, que también está desemparejado. Para poder formar un cuadrado, tendremos que añadir otro factor que sea múltiplo de 3. Como sabemos que el número es un factorial, como poco tendremos que llegar al 6: 1·2·3·4·5·6.

Pero, entre el 3 y el 6, nos ha aparecido otro número primo: el 5. Ahora, para aspirar a formar un cuadrado tendremos que añadir más factores hasta llegar, como poco, al 10: 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10. De nuevo entre 5 y 10 nos aparece un primo, el 7. Así que tenemos que prolongar el factorial por lo menos hasta el siguiente múltiplo de 7, el 14. Pero entre 7 y 14 aparecen más primos: el 11 y el 13. Y así sucesivamente.

Ocurre que entre un número y su doble siempre hay algún número primo (esto fue demostrado por Chebychev, conocido por los estudiantes de Estadística, en 1850). Como hay infinitos números primos, cada vez que prolongamos el factorial para emparejar a un primo, aparece otro desemparejado; así, nunca llegaremos a formar un factorial en el que no haya un primo sin pareja que impide que el número sea un cuadrado.

Así que sí, el que haya infinitos primos hace que otras cosas, relativas a familias de números que no son primos, sean imposibles. Esto es un ejemplo de cómo los números primos tienen mucha influencia sobre temas que aparentemente no son asunto suyo.

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Ahora, veamos un ejemplo en la dirección contraria.

Los números refactorizables son aquellos que cumplen que su número de divisores es justamente uno de sus divisores. Por abreviar, los llamaremos simplemente números rarunos.

Es decir: el 1 es raruno porque tiene 1 divisor. El 2 es raruno porque tiene 2 divisores. El 3 no es raruno porque tiene 2 divisores, entre los que no está el 2. El 8 sí es raruno porque tiene 4 divisores (1, 2, 4, y 8), entre los que está el 4. El 12 también es raruno porque tiene 6 divisores (1, 2, 3, 4, 6, y 12) y entre ellos está el propio 6.

Los únicos primos rarunos son el 1 y el 2. Como cualquier primo mayor que 1 tiene 2 divisores (él mismo y 1), sería raruno si el 2 fuese un divisor suyo. Pero, en ese caso, como sus divisores son el 1 y él mismo, tiene que ser el 2.

Es decir, es otro ejemplo de una familia de números que (casi) no contiene números primos. Si estuviéramos ociosos y nos gustasen los números, podríamos preguntarnos: "Los números rarunos, ¿son infinitos, o no?".

Y la respuesta es: Sí, porque hay infinitos números primos.

En este caso, el razonamiento es como sigue. Simplemente tenemos que usar cada número primo para construir un número raruno. El plan sería multiplicar el primo por otro número adecuado para conseguir que el número de divisores del total sea un divisor del segundo número (y, por tanto, del total).

Fijemos un número primo, como el 3. Si multiplicamos 8·3, tendrá los siguientes divisores: primero, los que ya eran divisores de 8 (1, 2, 4, y 8); y, segundo, los mismos multiplicados por 3 (1·3, 2·3, 4·3, y 8·3). Es decir, resultan 8 divisores. Como a su vez 8 es uno de los divisores de 8·3=24, tenemos que este es un número raruno.

En este argumento podemos sustituir el 3 por cualquier número primo, con tal que no sea ni el 1 ni el 2. Como hay infinitos números primos, este argumento nos proporciona infinitos números rarunos.

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Pero vamos a terminar la entrada rizando el rizo: ¿Hay infinitos cuadrados rarunos?

Y la respuesta es: Sí, porque hay infinitos números primos.

El plan es similar: buscar un número adecuado para que, al multiplicarlo por un primo y elevar al cuadrado, nos dé un número de divisores que ya sea divisor del cuadrado del primer número. Si conseguimos esto, como el valor del número primo no juega ningún papel, con los infinitos números primos podremos construir infinitos cuadrados rarunos.

En este caso, el 3 nos sirve. Si p es un número primo, el cuadrado (3·p)² tiene exactamente 9 divisores. Pero ese número es 9p², luego 9 es divisor suyo. Luego es un número raruno.