Pequeño problema

En El País llevan una temporada larga proponiendo un problema cada semana. Me he cruzado con el último y está entretenido. Consiste en encontrar el menor número primo mayor que 100 para el que existe otro número natural distinto que cumpla que las medias aritmética, geométrica y armónica de los son sean las tres enteras. Más definiciones y un vídeo explicativo pueden encontrarse en la web del problema. Aprovecho para divulgar un poco. No hay una sola forma de calcular la media de dos o más números, ya que algunas situaciones no se corresponden con la media aritmética de toda la vida. Dos amigos fumadores se encuentran. Uno lleva encima 4 cigarrillos y el otro 8. La media es 6, ¿por qué? Porque es la cantidad que hace que, si llevaran tantos cigarrillos el uno como el otro, el total (12) sería el mismo. En este caso 6 es la media artimética: 4 más 8, partido por 2. Una inversión hecha hace dos años nos ha rentado el 3% el primer año y el 4% el segundo año. ¿Cuál sería la rentabilidad "media"? La media aritmética es el 3'5%, en cambio la rentabilidad que, si hubiera sido igual los dos años, nos daría el mismo beneficio final, no es el 3'5% sino el 3'464%. En este caso, la idea de "si todos fueran iguales, cuánto tendría que aportar cada uno para obtener el mismo total" es la media geométrica. Otro ejemplo: nos vamos en coche a pasar el fin de semana en una casa rural. Salimos de la ciudad por autovía a 120 km/h. Cuando hemos recorrido la mitad de la distancia, salimos de la autovía a una carretera por la que circulamos a 60 km/h. La velocidad media de todo el trayecto es de 80 km/h. (No, no es de 90 km/h.) 80 es la media armónica de 60 y 120. Otra situación en la que aparece la media armónica es en los problemas "de grifos" o "de albañiles" que se hacían en nuestra época. Dos albañiles tienen que levantar una pared cada uno. El primer, trabajando solo, levanta una pared en 2 horas. El otro, más lento, tarda 3 horas. Si se ponen a hacer toda la tarea juntos, en lugar de cada uno su pared, ¿cuánto tardarían en acabar? (Es decir, cuánto tiempo tendría que aportar cada uno para que, aportando por igual, el resultado final fuera el mismo.) La respuesta no es dos horas y media (media aritmética) sino dos horas y veinticuatro minutos (media armónica). Suponiendo que no se paren a hablar de fútbol...